% 例題I3.2.5：軸が移動するときの最大・最小 （One More）★★★
関数$f(x)=x^2-2 a x+3(0 \leqq x \leqq 3)$について,$f(x)$の最小値を求めよ.
% 解答（例題I3.2.5）
$$y=x^2-2 a x+3=(x-a)^2-a^2+3$$$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線$x=a$(i)$a<0$のとき グラフは右の図のようになり,軸は定義域より左側にある.$x=0$のとき最小となり,最小値$f(0)=3$(ii)$0 \leqq a \leqq 3$のとき グラフは右の図のようになり,軸は定義域内にある.$x=a$のとき最小となり,最小値$f(a)=-a^2+3$(iii)$3<a$のとき グラフは右の図のようになり,軸は定義域より右側にある.$x=3$のとき最小となり,最小値$f(3)=-6 a+12$よって,(i)〜(iii)より,$$\begin{cases}a<0 \text{ のとき,}& x=0 \text{ で最小値 } 3 \\ 0 \leqq a \leqq 3 \text{ のとき,}& x=a \text{ で最小値 }-a^2+3 \\ 3<a \text{ のとき,}& x=3 \text{ で最小値 }-6 a+12 \end{cases}$$
% 問題I3.2.5
(1)関数$f(x)=x^2-2 a x+3(0 \leqq x \leqq 3)$について,$f(x)$の最大値を求めよ. (2)関数$f(x)=x^2-2a x+5(1 \leqq x \leqq 4)$について,$f(x)$の最小値を求めよ.
% 解答I3.2.5
(1)$y=x^2-2 a x+3=(x-a)^2-a^2+3$$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線$x=a$(i)$a<\frac{3}{2}$のとき グラフは右の図のようになる.$x=3$のとき最大となり,最大値$f(3)=-6a+12$(ii)$a=\frac{3}{2}$のとき グラフは右の図のようになる.$x=0,3$のとき最大となり,最大値$f(0)=f(3)=3$(iii)$\frac{3}{2}<a$のとき グラフは右の図のようになる.$x=0$のとき最大となり,最大値$f(0)=3$よって,(i)〜(iii)より,$$\begin{cases}a<\frac{3}{2} \text{ のとき,}& x=3 \text{ で最大値 } -6a+12 \\ a=\frac{3}{2} \text{ のとき,}& x=0,3 \text{ で最大値 } 3 \\\frac{3}{2}<a \text{ のとき,}& x=0 \text{ で最大値 } 3 \end{cases}$$(2)$y=x^2-2a x+5=(x-a)^2-a^2+5$$y=f(x)$のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線$x=a$(i)$a<1$のとき グラフは右の図のようになり,軸は定義域より左側にある.$x=1$のとき最小となり,最小値$f(1)=-2a+6$(ii)$1 \leqq a \leqq 4$のとき グラフは右の図のようになり,軸は定義域内にある.$x=a$のとき最小となり,最小値$f(a)=-a^2+5$(iii)$4<a$のとき グラフは右の図のようになり,軸は定義域より右側にある.$x=4$のとき最小となり,最小値$f(4)=-8a+21$よって,(i)〜(iii)より,$$\begin{cases}a<1 \text{ のとき,}& x=1 \text{ で最小値 } -2a+6 \\ 1 \leqq a \leqq 4 \text{ のとき,}& x=a \text{ で最小値 }-a^2+5 \\ 4<a \text{ のとき,}& x=4 \text{ で最小値 }-8a+21 \end{cases}$$
