% 例題I3.2.7：最小値の最大値 （One More）★★★
$x$の2次関数$y=x^2-6ax+8a^2+2a+3$の最小値を$m$とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,$a$は定数とする. (1)最小値$m$を$a$を用いて表せ. (2)$a$の値が$0 \leqq a \leqq 3$で変化するとき,$m$の最大値を求めよ.
% 解答（例題I3.2.7）
(1)$\begin{aligned} y=& x^2-6a x+8a^2+2a+3 \\ =& \left\{(x-3a)^2-(3a)^2\right\}+8a^2+2a+3 \\ =&(x-3a)^2-a^2+2a+3 \end{aligned}$グラフは右の図のようになる. よって,$y$は$x=3a$で最小値$m=-a^2+2a+3$(2)$\begin{aligned} m &=-a^2+2a+3 \\ &=-\left(a^2-2a\right)+3 \\ &=-\left\{(a-1)^2-1^2\right\}+3 \\ &=-(a-1)^2+4 \end{aligned}$グラフは右の図のようになる. よって,$0 \leqq a \leqq 3$の範囲において,$a$の関数$m$は,$a=1$で最大値$4$
% 問題I3.2.7
$x$の2次関数$y=-x^2+4ax-5a^2+3a+6$の最大値を$M$とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,$a$は定数とする. (1)最大値$M$を$a$を用いて表せ. (2)$a$の値が$-2 \leqq a \leqq 3$で変化するとき,$M$の最小値を求めよ.
% 解答I3.2.7
(1)$\begin{aligned} y=&-x^2+4a x-5a^2+3a+6 \\ =&-\left\{(x-2a)^2-(2a)^2\right\}-5a^2+3a+6 \\ =&-(x-2a)^2-a^2+3a+6 \end{aligned}$グラフは右の図のようになる. よって,$y$は$x=2a$で最大値$M=-a^2+3a+6$(2)$\begin{aligned} M &=-a^2+3a+6 \\ &=-\left(a^2-3a\right)+6 \\ &=-\left\{\left(a-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right\}+6 \\ &=-\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{33}{4} \end{aligned}$グラフは右の図のようになる. よって,$-2 \leqq a \leqq 3$の範囲において,$a$の関数$M$は,$a=-2$で最小値$-4$
