% 例題I3.3.20：不等式の係数決定 （One More）★★
2次不等式$a x^2+2x+b \geqq 0$の解が$-2 \leqq x \leqq 3$となるとき,定数$a,b$の値を求めよ.
% 解答（例題I3.3.20）
$y=a x^2+2x+b \cdots (\mathrm{i})$とする.$a x^2+2x+b \geqq 0$の解が$-2 \leqq x \leqq 3$となるのは,(i)のグラフが右の図のようになるときであるから,$a<0$このとき,解が$-2 \leqq x \leqq 3$であるから,$y=ax^2+2x+b$のグラフは$x$軸と$x=-2,3$で交わる. したがって,2次方程式$a x^2+2x+b=0$の解は,$x=-2,3$となる. ゆえに,$a x^2+2x+b=0$に$x=-2,3$をそれぞれ代入すると,$\left\{\begin{array}{l} 4a-4+b=0 \\ 9a+6+b=0 \end{array}\right.$これを解くと,$a=-2,b=12$となり,$a<0$を満たす. よって,$a=-2,b=12$別解：$-2 \leqq x \leqq 3$を解にもつ2次不等式のうち,$x^2$の係数が1のものは,$(x+2)(x-3) \leqq 0$と表される. したがって,$x^2-x-6 \leqq 0 \cdots (\mathrm{i})$a x^2+2x+b \geqq 0 \cdots (\mathrm{ii})$の$x$の係数が$2$であるから,(i)の両辺に$-2$を掛けて,$-2x^2+2x+12 \geqq 0$よって,(ii)と係数を比較すると,$a=-2,b=12$
% 問題I3.3.20
2次不等式$2a x^2+b x+1 \leqq 0$の解が$x \leqq -\frac{1}{2},3 \leqq x$となるとき,定数$a,b$の値を求めよ.
% 解答I3.3.20
$y=2a x^2+b x+1 \cdots (\mathrm{i})$とする.$2a x^2+b x+1 \leqq 0$の解が$x \leqq -\frac{1}{2},3 \leqq x$となるのは,(i)のグラフが右の図のようになるときであるから,$a<0$このとき,解が$x \leqq -\frac{1}{2},3 \leqq x$であるから,$y=2a x^2+b x+1$のグラフは$x$軸と$x=-\frac{1}{2},3$で交わる. したがって,2次方程式$2a x^2+b x+1=0$の解は,$x=-\frac{1}{2},3$となる. ゆえに,$2a x^2+b x+1=0$に$x=-\frac{1}{2},3$をそれぞれ代入すると,$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} a-\frac{1}{2} b+1=0 \\ 18 a+3 b+1=0 \end{array}\right.$これを解くと,$a=-\frac{1}{3},b=\frac{5}{3}$となり,$a<0$を満たす. よって,$a=-\frac{1}{3},b=\frac{5}{3}$別解：$x \leqq -\frac{1}{2},3 \leqq x$を解にもつ2次不等式のうち,$x^2$の係数が1のものは,$(x+\frac{1}{2})(x-3) \geqq 0$と表される. したがって,$x^2-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2} \geqq 0 \cdots (\mathrm{i})$2a x^2+b x+1 \leqq 0 \cdots (\mathrm{ii})$の定数項が1であるから,(i)の両辺に$-\frac{2}{3}$を掛けて,$-\frac{2}{3} x^2+\frac{5}{3} x+1 \leqq 0$よって,(ii)と係数を比較すると,$a=-\frac{1}{3},b=\frac{5}{3}$
