【数学I】例題3.3.21：2次方程式が実数解をもつ条件3（One More）★★★

% 例題I3.3.21：2次方程式が実数解をもつ条件3 （One More）★★★
次の問いに答えよ.ただし,$k$を定数とする. (1)$x$についての2次方程式$3x^2-kx+k+2=0$が実数解をもたないような$k$の値の範囲を求めよ. (2)$x$についての方程式$k x^2-2(k-3)x+4=0$の実数解の個数を求めよ.

% 解答（例題I3.3.21）
(1)与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると,$$D=(-k)^2-4 \cdot 3 \cdot (k+2)=k^2-12k-24$$2次方程式が実数解をもたないから,$D<0$したがって,$k^2-12k-24<0$$k^2-12k-24=0$を解くと,$k=6 \pm 2\sqrt{15}$よって,$6-2\sqrt{15}<k<6+2\sqrt{15}$(2)$k x^2-2(k-3)x+4=0 \cdots (\mathrm{i})$とする. （ア）$k=0$のとき,(i)は$6x+4=0$これを解くと,$x=-\frac{2}{3}$であり, このとき,実数解の個数は1個 （イ）$k \neq 0$のとき,2次方程式(i)の判別式を$D$とすると,$$\frac{D}{4}=(k-3)^2-k \cdot 4=k^2-10k+9=(k-1)(k-9)$$$D>0$のとき,$(k-1)(k-9)>0$これを解くと,$k<1,9<k$$k \neq 0$より,$k<0,0<k<1,9<k$であり, このとき,実数解の個数は2個$D=0$のとき,$(k-1)(k-9)=0$これを解くと,$k=1,9$であり,このとき,実数解の個数は1個$D<0$のとき,$(k-1)(k-9)<0$これを解くと,$1<k<9$であり,このとき,実数解の個数は0個 よって,（ア）,（イ）より,求める$k$の値の範囲は,$$\left\{ \begin{alignedat}{2} &k<0,0<k<1,9<k \text{ のとき,} &&\text{ 2 個}\\ &k=0,1,9 \text{ のとき,} &&\text{ 1個}\\ &1<k<9 \text{ のとき,} &&\text{ 0個}\\ \end{alignedat}\right.$$

% 問題I3.3.21
次の問いに答えよ.ただし,$k$を定数とする. (1)$x$についての2次方程式$4x^2-kx+k-3=0$が実数解をもたないような$k$の値の範囲を求めよ. (2)$x$についての方程式$(k+3)x^2+2(k-1)x-2=0$の実数解の個数を求めよ.

% 解答I3.3.21
(1)与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると,$$D=(-k)^2-4 \cdot 4 \cdot (k-3)=k^2-16k+48$$2次方程式が実数解をもたないから,$D<0$したがって,$k^2-16k+48<0$因数分解すると,$(k-4)(k-12)<0$よって,$4<k<12$(2)$(k+3)x^2+2(k-1)x+2=0 \cdots (\mathrm{i})$とする. （ア）$k=-3$のとき,(i)は$-8x+2=0$これを解くと,$x=\frac{1}{4}$であり, このとき,実数解の個数は1個 （イ）$k \neq -3$のとき,2次方程式(i)の判別式を$D$とすると,$$\frac{D}{4}=(k-1)^2-(k+3) \cdot 2=k^2-4k-5=(k+1)(k-5)$$$D>0$のとき,$(k+1)(k-5)>0$これを解くと,$k<-1,5<k$したがって,$k \neq -3$より,$k<-3,-3<k<-1,5<k$であり,このとき,実数解の個数は2個$D=0$のとき,$(k+1)(k-5)=0$これを解くと,$k=-1,5$であり,このとき,実数解の個数は1個$D<0$のとき,$(k+1)(k-5)<0$これを解くと,$-1<k<5$であり,このとき,実数解の個数は0個 よって,（ア）,（イ）より,求める$k$の値の範囲は,$$\left\{ \begin{alignedat}{2} &k<-3,-3<k<-1,5<k \text{ のとき,} &&\text{2個}\\ &k=-3,k=-1,k=5 \text{ のとき,} &&\text{1個}\\ &-1<k<5 \text{ のとき,} &&\text{0個}\\ \end{alignedat}\right.$$