% 例題I3.3.31：条件付きの2変数関数の最大・最小2 （One More）★★★
実数$x,y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき,$\frac{1}{2}x+y^2$の最大値,最小値と,そのときの$x,y$の値を求めよ.
% 解答（例題I3.3.31）
$x^2+y^2=1$より,$y^2=1-x^2 \cdots (\mathrm{i})$$x,y$は実数であるから$y^2 \geqq 0$,すなわち,$1-x^2 \geqq 0$したがって,$x^2-1 \leqq 0$であるから,$(x+1)(x-1) \leqq 0$ゆえに,$-1 \leqq x \leqq 1$$\frac{1}{2}x+y^2$に(i)を代入すると,$$\begin{aligned} \frac{1}{2}x+y^2 &=\frac{1}{2}x+\left(1-x^2\right)\\ &=-x^2+\frac{1}{2}x+1 \\ &=-\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{17}{16} \end{aligned}$$グラフは右の図のようになる. したがって,$x=\frac{1}{4}$のとき,最大値$\frac{17}{16}$,$x=-1$のとき,最小値$-\frac{1}{2}$$x=\frac{1}{4}$のとき,$y^2=1-\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{15}{16}$より,$y=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}$$x=-1$のとき,$y^2=1-(-1)^2=0$より,$y=0$よって,$\frac{1}{2}x+y^2$は,$$\begin{alignedat}{2} &x=\frac{1}{4},y=\pm\frac{\sqrt{15}}{4} \text{ のとき,} && \text{最大値}\frac{17}{16}\\ &x=-1,y=0 \text{ のとき,} && \text{最小値} -\frac{1}{2} \end{alignedat}$$
% 問題I3.3.31
実数$x,y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき,$x+y^2$の最大値,最小値と,そのときの$x,y$の値を求めよ.
% 解答I3.3.31
$x^2+y^2=1$より,$y^2=1-x^2 \cdots (\mathrm{i})$$x,y$は実数であるから$y^2 \geqq 0$,すなわち,$1-x^2 \geqq 0$したがって,$x^2-1 \leqq 0$であるから,$(x+1)(x-1) \leqq0$ゆえに,$-1 \leqq x \leqq 1$$x+y^2$に(i)を代入すると,$$\begin{aligned} x+y^2 &=x+\left(1-x^2\right)\\ &=-x^2+x+1 \\ &=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4} \end{aligned}$$グラフは右の図のようになる. したがって,$x=\frac{1}{2}$のとき,最大値$\frac{5}{4}$,$x=-1$のとき,最小値$-1$$x=\frac{1}{2}$のとき,$y^2=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}$より,$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$x=-1$のとき,$y^2=1-(-1)^2=0$より,$y=0$よって,$x+y^2$は$$\begin{alignedat}{2} &x=\frac{1}{2},y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ のとき,} && \text{最大値}\frac{5}{4}\\ &x=-1,y=0 \text{ のとき,} && \text{最小値} -1 \end{alignedat}$$
