% 例題I4.1.14：三角比を含む2次関数の最大・最小 （One More）★★★
関数$y=\sin ^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値と最小値を求め,そのときの$\theta$の値を求めよ.ただし,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$とする.
% 解答（例題I4.1.14）
$y =\sin ^2 \theta+\cos \theta-1 =\left(1-\cos ^2 \theta\right)+\cos \theta-1 =-\cos ^2 \theta+\cos \theta \cdots (\mathrm{i})$$\cos \theta=t$とおくと,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$$-1 \leqq t \leqq 1$$このとき,(i)に$t$を代入すると,$$y=-t^2+t =-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$$したがって,グラフは右の図のようになる. ゆえに,$y$は$t=\frac{1}{2}$, すなわち,$\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,最大値$\frac{1}{4}$をとり,$t=-1$,すなわち,$\cos \theta=-1$のとき,最小値$-2$をとる.$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\theta=60^{\circ},\cos \theta=-1$のとき,$\theta=180^{\circ}$よって,$\theta=60^{\circ}$のとき,最大値$\frac{1}{4},\theta=180^{\circ}$のとき,最小値$-2$
% 問題I4.1.14
関数$y=2\sin ^2 \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求め,そのときの$\theta$の値を求めよ.ただし,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$とする.
% 解答I4.1.14
$y=\sin ^2 \theta-\cos \theta =\left(1-\cos ^2 \theta\right)-\cos \theta =-\cos ^2 \theta-\cos \theta+1 \cdots (\mathrm{i})$$\cos \theta=t$とおくと,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$$-1 \leqq t \leqq 1$$このとき,(i)に$t$を代入すると,$$y=-t^2-t+1 =-\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}$$したがって,グラフは右の図のようになる. ゆえに,$y$は$t=-\frac{1}{2}$, すなわち,$\cos \theta=-\frac{1}{2}$のとき,最大値$\frac{5}{4}$をとり,$t=1$,すなわち,$\cos \theta=1$のとき,最小値$-1$をとる.$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$\cos \theta=-\frac{1}{2}$のとき,$\theta=120^{\circ},\cos \theta=1$のとき,$\theta=0^{\circ}$よって,$\theta=120^{\circ}$のとき,最大値$\frac{5}{4},\theta=0^{\circ}$のとき,最小値$-1$
