% 例題I4.3.6：角の二等分線の長さ （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=4,\mathrm{BC}=8,\mathrm{CA}=6$とする.$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺BCと交わる点を$\mathrm{D},\angle \mathrm{B}$の二等分線が線分ADと交わる点をIとする.このとき,次の値を求めよ. (1)線分ADの長さ (2)線分AIの長さ
% 解答（例題I4.3.6）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において,線分ADは$\angle \mathrm{A}$の二等分線であるから,$$\mathrm{BD} : \mathrm{DC}=\mathrm{AB} : \mathrm{AC}=4:6=2:3$$$\mathrm{BC}=8$より,$$\mathrm{BD}=\frac{2}{2+3} \mathrm{BC}=\frac{2}{5} \cdot 8=\frac{16}{5}$$$\triangle \mathrm{ABC}$において,余弦定理より,$$\cos B=\frac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{CA}^2}{2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC}} =\frac{4^2+8^2-6^2}{2 \cdot 4 \cdot 8}=\frac{11}{16}$$$\triangle \mathrm{ABD}$において,余弦定理より,$$\mathrm{AD}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BD}^2-2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BD} \cdot \cos B =4^2+\left(\frac{16}{5}\right)^2-2 \cdot 4 \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{11}{16} =\frac{216}{25}$$よって,$\mathrm{AD}>0$より,$\mathrm{AD}=\frac{6\sqrt{6}}{5}$(2)$\triangle \mathrm{ABD}$において,線分BIは$\angle \mathrm{B}$の二等分線であるから,$$\mathrm{AI} : \mathrm{ID}=\mathrm{AB} : \mathrm{BD}=4 :\frac{16}{5}=5: 4$$よって,$\mathrm{AI}=\frac{5}{5+4} \mathrm{AD}=\frac{5}{9} \times\frac{6\sqrt{6}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
% 問題I4.3.6
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=4,\mathrm{BC}=6,\mathrm{CA}=5$とする.$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺BCと交わる点を$\mathrm{D},\angle \mathrm{B}$の二等分線が線分ADと交わる点をIとする.このとき,次の値を求めよ. (1)線分ADの長さ (2)線分AIの長さ
% 解答I4.3.6
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において,線分ADは$\angle \mathrm{A}$の二等分線であるから,$$\mathrm{BD} : \mathrm{DC}=\mathrm{AB} : \mathrm{AC}=4:5$$$\mathrm{BC}=6$より,$$\mathrm{BD}=\frac{4}{4+5} \mathrm{BC}=\frac{4}{9} \cdot 6=\frac{8}{3}$$$\triangle \mathrm{ABC}$において,余弦定理より,$$\cos B=\frac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{CA}^2}{2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC}} =\frac{4^2+6^2-5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} =\frac{9}{16}$$$\triangle \mathrm{ABD}$において,余弦定理より,$$\mathrm{AD}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BD}^2-2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BD} \cdot \cos B =4^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2-2 \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{16}=\frac{100}{9}$$よって,$\mathrm{AD}>0$より,$$\mathrm{AD}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}$$(2)$\triangle \mathrm{ABD}$において,線分BIは$\angle \mathrm{B}$の二等分線であるから,$$\mathrm{AI} : \mathrm{ID}=\mathrm{AB} : \mathrm{BD}=4 :\frac{8}{3}=3 : 2$$よって,$\mathrm{AI}=\frac{3}{3+2} \mathrm{AD}=\frac{3}{5} \times\frac{10}{3}=2$
