% 例題I4.3.7：中線定理 （One More）★★
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺BCの中点をMとする.このとき,$$\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=2\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2\right)$$が成り立つことを証明せよ. (2)$\mathrm{AB}=4,\mathrm{BC}=8,\mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺BCの中点をMとするとき,線分AMの長さを求めよ.
% 解答（例題I4.3.7）
(1)$\angle \mathrm{AMB}=\theta$とすると,$\angle \mathrm{AMC}=180^{\circ}-\theta$$\triangle \mathrm{ABM}$において,余弦定理より,$$\mathrm{AB}^2=\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2-2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM} \cdot \cos \theta \cdots (\mathrm{i})$$$\triangle \mathrm{ACM}$において,余弦定理より,$$\mathrm{AC}^2=\mathrm{AM}^2+\mathrm{CM}^2+2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{CM} \cdot \cos(180^\circ-\theta) \cdots (\mathrm{ii})$$(i)と(ii)の辺々を足し合わせると,$\mathrm{BM}=\mathrm{CM}$より,$$\begin{aligned} \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2&=2\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2\right)-2\mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}\{\cos \theta+\cos \left(180^{\circ}-\theta\right)\}\\ &=2\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2\right)-2\mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}(\cos \theta-\cos \theta)\\ &=2\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2\right)\blacksquare\end{aligned}$$(2)$\mathrm{AB}=4,\mathrm{BM}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=4,\mathrm{AC}=5$とすると,(1)より,$$4^2+5^2=2\left(\mathrm{AM}^2+4^2\right)$$したがって,$\mathrm{AM}^2=\frac{9}{2}$よって,$\mathrm{AM}>0$より,$\mathrm{AM}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
% 問題I4.3.7
$\mathrm{AB}=5,\mathrm{BC}=10,\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺BCの中点をMとするとき,線分AMの長さを求めよ.
% 解答I4.3.7
中線定理より,$$\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=2\left(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2\right)$$これに,$\mathrm{AB}=5,\mathrm{BM}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=5,\mathrm{AC}=6$を代入すると,$$5^2+6^2=2\left(\mathrm{AM}^2+5^2\right)$$したがって,$\mathrm{AM}^2=\frac{11}{2}$よって,$\mathrm{AM}>0$より,$\mathrm{AM}=\frac{\sqrt{22}}{2}$
