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【数学A】1章：場合の数（基本事項）

数学A（One More） 1章：場合の数 1節：数え上げの原則 2節：順列・組合せ
【数学A】基本事項1章，場合の数
【数学A】基本事項1章，数え上げの原則，集合
【数学A】基本事項1章，有限集合の要素の個数，場合の数
【数学A】基本事項1章，和の法則積の法則
【数学A】基本事項1章，順列組合せ，順列，円順列と数珠順列，重複順列
検索用コード（LaTeX）
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% 基本事項A1.1.1：集合（One More）
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(1) あるものがその集まりに属するかどうかが明確に定まるとき，その集まりを集合という．また，集合に属する1つ1つのものを，その集合の要素という．ある要素$a$が集合$A$に含まれる場合，$a$は集合$A$に属するといい，$a\in A$と表す．逆に，要素$b$が集合$A$に含まれない場合には，$b\notin A$と表す．このとき，任意の要素$a$と集合$A$の関係において，$a\in A$または$a\notin A$のいずれかが成り立つ．要素が有限個である集合を有限集合，要素が無限個ある集合を無限集合という．

(2) 集合を表すには，次の2つの方法がある．

(i) 要素を列記する方法

(ii) 要素の満たす条件を述べて表す方法

例えば，1桁の正の奇数の集合を$A$とすると，$A$には次のような表し方がある．

(i) $A=\{1,3,5,7,9\}$

(ii) $A=\{x\mid 1\leqq x\leqq 9,x$は奇数$\}$,$A=\{2n-1\mid 1\leqq n\leqq 5,n$は整数$\}$

(3) 2つの集合$A,B$に関して，$A$のすべての要素が$B$の要素でもある場合，つまり$x\in A$ならば$x\in B$が成り立つとき，$A$を$B$の部分集合といい，$A\subset B$と表す．このとき，$A$は$B$に含まれる，あるいは$B$は$A$を含むという．また，$A$は$A$自身の部分集合でもあり，任意の集合$A$について$A\subset A$が成り立つ．

2つの集合$A,B$が一致しているとは，互いに他方の部分集合となっていることである．すなわち，$A\text{と}B\text{が等しい}\Longleftrightarrow A\subset B\text{かつ}B\subset A\Longleftrightarrow A=B$

(4) 空集合$\varnothing$は，要素を1つも含まない集合を指す．任意の集合$A$に対して，$\varnothing$は$A$の部分集合であるとする．すなわち，$\varnothing\subset A$と約束する．

$A,B$の両方に属するような要素全体の集合を$A$と$B$の共通部分($A$と$B$の交わり)といい，$A\cap B$で表す．

$A,B$の少なくとも一方に属するような要素全体の集合を$A$と$B$の和集合($A$と$B$の結び)といい，$A\cup B$で表す．

(5) 全体集合とは，特定の文脈や議論において，考えられるすべての要素を含む集合である．補集合とは，全体集合$U$に属し，かつ$U$の部分集合$A$に属さない要素全体からなる集合である．これを$\overline{A}$で表す（$A^c$で表されることもある）．また，次のことが成り立つ．

\[
\overline{\varnothing}=U,\overline{U}=\varnothing,A\cap\overline{A}=\varnothing,A\cup\overline{A}=U,\overline{\overline{A}}=A
\]

(6) ド・モルガンの法則（ド・モーガンの法則）

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$

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% 基本事項A1.1.2：有限集合の要素の個数（One More）
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有限集合$A$の要素の個数を$n(A)$で表す．全体集合$U$の部分集合である$A,B,C$に対して，

(1) 和集合の要素の個数

\[
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)
\]

\[
\text{とくに，}A\cap B=\varnothing\text{のとき，}n(A\cup B)=n(A)+n(B)
\]

(2) 補集合の要素の個数

\[
n(\overline{A})=n(U)-n(A)
\]

(3) 3つの集合の和集合の要素の個数

単に$n(A)+n(B)+n(C)$を考えると，(iv)，(v)，(vi)の部分はそれぞれ2回，(vii)の部分は3回数えられることになる．(iv)，(v)，(vi)の部分が重複しないように$A\cap B,B\cap C,C\cap A$を1回ずつ除くと，(vii)の部分が3回除かれる．そのため，最後に(vii)の部分を加えると，次の式が成り立つ．

\[
n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)
\]

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% 基本事項A1.1.3：場合の数（One More）
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ある事柄について，考えられるすべての場合を，もれなく数え上げるときのその総数のことを場合の数という．数え上げる方法には，辞書の単語のようにアルファベット順に並べる辞書式配列や，樹形図を用いる方法がある．

辞書式配列，樹形図を用いると，例えば，$a,a,b,c$の4文字から3文字を選んで1列に並べる方法の総数は右のように考えることができ，12通りとなる．また，1文字目に$b$を選んだとすると，樹形図を作成する手順は次のようになる．

[1]1文字目に$b$を選ぶとする．

[2]2文字目に$a$を選ぶ．

[3]3文字目に$a$を選ぶ．

[4]3文字目に戻り，$c$を選ぶ．

[5]2文字目に戻り，$c$を選ぶ．

[6]3文字目に$a$を選ぶ．

[7]1文字目が$b$の場合はすべて考え尽くしたので，1文字目が$a$の場合や$c$の場合も同様に考える．

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% 基本事項A1.1.4：和の法則・積の法則（One More）
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(1) 和の法則

2つの事柄$A,B$について，$A$である場合が$m$通り，$B$である場合が$n$通りで，$A$と$B$が同時に起こらないとする．このとき，$A$または$B$が起こる場合の数は，$m+n$通りである．

つまり，$n(A\cap B)=0$のとき，

\[
n(A\cup B)=n(A)+n(B)
\]

(2) 積の法則

2つの事柄$A,B$について，$A$である場合が$m$通りあり，そのどの場合についても$B$である場合が$n$通りあるとき，$A,B$がともに起こる場合の数は，$m\times n$通りである．

(3) $p,q,r,\ldots$を互いに異なる素数，$a,b,c,\ldots$を正の整数とする．

自然数$N$が$N=p^aq^br^c\cdots$と素因数分解されているとき，

(i) $N$の約数の個数は，

\[
(a+1)(b+1)(c+1)\cdots(個)
\]

(ii) $N$の約数の総和は，

\[
(1+p+p^2+\cdots+p^a)(1+q+q^2+\cdots+q^b)(1+r+r^2+\cdots+r^c)\cdots
\]

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% 基本事項A1.2.1：順列（One More）
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(1) 順列（permutation）$\cdots$異なる$n$個のものから$r$個を取り出して1列に並べる順列の総数は，${}_n\mathrm{P}_r$と表し，

\[
{}_n\mathrm{P}_r=\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}_{r\text{個の連続する自然数の積}}
\]

(2) $n$の階乗を$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$とし，$0!=1$と定める．階乗の記号を用いると，順列は，

\[
{}_n\mathrm{P}_r=\underbrace{n(n-1)\cdots(n-r+1)}_{r\text{個の連続する自然数の積}}=\frac{n!}{(n-r)!}
\]

また，$n$個のものすべての順列の総数は${}_nP_n=n!$であり，${}_n\mathrm{P}_0=1$と定める．

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% 基本事項A1.2.2：円順列と数珠順列（One More）
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異なる$n$個の円順列の総数は，

\[
\text{円順列の総数}=\frac{{}_n\mathrm{P}_n}{n}=(n-1)!
\]

異なる$n$個の数珠順列の総数は，

\[
\text{数珠順列の総数}=\frac{\text{円順列の総数}}{2}=\frac{{}_n\mathrm{P}_n}{2n}=\frac{(n-1)!}{2}(n\geqq 3)
\]

なお，裏表があるので，$2$で割ることに注意すること．

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% 基本事項A1.2.3：重複順列（One More）
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重複順列$\cdots$異なる$n$個のものから重複を許して，$r$個を取り出して並べる順列の総数は，$n^r$

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% 基本事項A1.2.4：組合せ（One More）
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組合せ（combination）$\cdots$異なる$n$個のものから$r$個取った組合せの総数は${}_n\mathrm{C}_r$と表し，異なる$n$個のものから$r$個とった順列の総数を，異なる$r$個のものから$r$個とった順列の総数で割った値となる．つまり，

\[
{}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\cdots 1}=\frac{n!}{r!(n-r)!}
\]

また，次の等式が成り立つ．

\[
{}_n\mathrm{C}_0=1,{}_n\mathrm{C}_n=1,{}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r},{}_n\mathrm{C}_r={}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_r
\]

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% 基本事項A1.2.5：同じものを含む順列（One More）
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同じものを含む順列$\cdots$ $n$個のものから，同じものがそれぞれ，$p$個，$q$個，$r$個，$\cdots$あるとき，$n$個のものすべてを1列に並べる順列の総数は，

\[
\frac{n!}{p!q!r!\cdots}(p+q+r+\cdots=n)
\]
数学A（One More） 1章：場合の数 1節：数え上げの原則 2節：順列・組合せ
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