% 例題A2.1.3：組合せと確率 （One More）★
赤玉8個と白玉4個の合計12個の玉が入っている袋の中から,3個の玉を同時に取り出すとき,次の確率を求めよ. (1)3個とも赤玉である確率 (2)赤玉が2個,白玉が1個である確率
% 解答（例題A2.1.3）
12個の玉から3個の玉を取り出す場合の数は,${ }_{12} \mathrm{C}_3$通り (1)赤玉8個から3個の玉を取り出す場合の数は,${ }_8 \mathrm{C}_3$通り よって,求める確率は,$$\frac{{ }_8 \mathrm{C}_3}{{ }_{12} \mathrm{C}_3}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{12 \cdot 11 \cdot 10}=\frac{14}{55}$$(2)赤玉8個から2個を取り出す場合の数は,${ }_8 \mathrm{C}_2$通り そのそれぞれについて,白玉4個から1個を取り出す場合の数は,${ }_4 \mathrm{C}_1$通り したがって,赤玉2個,白玉1個を取り出す場合の数は,$${ }_8 \mathrm{C}_2 \times { }_4 \mathrm{C}_1(\text{通り})$$よって,求める確率は,$$\frac{{ }_8 \mathrm{C}_2 \times { }_4 \mathrm{C}_1}{{ }_{12} \mathrm{C}_3}=\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \times 4 \times\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{12 \cdot 11 \cdot 10}=\frac{28}{55}$$
% 問題A2.1.3
赤玉9個と白玉6個の合計15個の玉が入っている袋の中から,4個の玉を同時に取り出すとき,次の確率を求めよ. (1)4個とも赤玉である確率 (2)赤玉が3個,白玉が1個である確率
% 解答A2.1.3
15個の玉から4個の玉を取り出す場合の数は,${ }_{15} \mathrm{C}_4$通り (1)赤玉9個から4個の玉を取り出す場合の数は,${ }_9 \mathrm{C}_4$通り よって,求める確率は,$$\frac{{ }_9 \mathrm{C}_4}{{ }_{15} \mathrm{C}_4}=\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}=\frac{6}{65}$$(2)赤玉9個から3個を取り出す場合の数は,${ }_9 \mathrm{C}_3$通り そのそれぞれについて,白玉6個から1個を取り出す場合の数は,${ }_6 \mathrm{C}_1$通り したがって,赤玉3個,白玉1個を取り出す場合の数は,${ }_9 \mathrm{C}_3 \times { }_6 \mathrm{C}_1(\text{通り})$よって,求める確率は,$$\frac{{ }_9 \mathrm{C}_3 \times { }_6 \mathrm{C}_1}{{ }_{15} \mathrm{C}_4}=\frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times 6 \times\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}=\frac{24}{65}$$
