問題の解答
検索用コード（LaTeX）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 例題A2.1.4：同じものを含む順列と確率（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
A，L，L，O，W，E，D，L，Yの9文字からいくつかの文字を取り出して，横に並べるとき，次の確率を求めよ．
(1) 9文字を横1列に並べるとき，どの2つのLも隣り合わない確率
(2) 9文字の中から6文字を取り出して1列に並べるとき，どの2つのLも隣り合わない確率
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 例題A2.1.4の解答（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
(1) A，L$_1$，L$_2$，O，W，E，D，L$_3$，Yの9文字を1列に並べる並び方は，$9!$通り
Lを除いた6文字A，O，W，E，D，Yを並べ，さらに6文字の間と両端の7箇所のうち，3箇所にL$_1$，L$_2$，L$_3$が入ればよい．
したがって，どの2つのLも隣り合わない並び方は，
\[
6!\times{}_7\mathrm{P}_3(\text{通り})
\]
よって，求める確率は，
\[
\frac{6!\times{}_7\mathrm{P}_3}{9!}=\frac{6!\times 7\cdot 6\cdot 5}{9!}=\frac{5}{12}
\]
(2) 9文字の中から6文字を取り出して1列に並べる場合の数は，${}_9\mathrm{P}_6(\text{通り})$
(i) 6文字のうちLが3つのとき，${}_6\mathrm{P}_3\times{}_4\mathrm{P}_3(\text{通り})$
(ii) 6文字のうちLが2つのとき，${}_6\mathrm{P}_4\times{}_3\mathrm{C}_2\times{}_5\mathrm{P}_2(\text{通り})$
(iii) 6文字のうちLが1つのとき，${}_6\mathrm{P}_5\times{}_3\mathrm{C}_1\times{}_6\mathrm{P}_1(\text{通り})$
(iv) 6文字のうちLを含まないとき，${}_6\mathrm{P}_6$通り
よって，(i)～(iv)より，求める確率は，
\[
\frac{{}_6\mathrm{P}_3\times{}_4\mathrm{P}_3+{}_6\mathrm{P}_4\times{}_3\mathrm{C}_2\times{}_5\mathrm{P}_2+{}_6\mathrm{P}_5\times{}_3\mathrm{C}_1\times{}_6\mathrm{P}_1+{}_6\mathrm{P}_6}{{}_9\mathrm{P}_6}=\frac{53}{84}
\]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 問題A2.1.4：同じものを含む順列と確率（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
E，M，P，L，O，Y，E，Eの8文字からいくつかの文字を取り出して，横に並べるとき，次の確率を求めよ．
(1) 8文字を横1列に並べるとき，どの2つのEも隣り合わない確率
(2) 8文字の中から5文字を取り出して1列に並べるとき，どの2つのEも隣り合わない確率
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 問題A2.1.4の解答（One More）★★★
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
(1) E$_1$，M，P，L，O，Y，E$_2$，E$_3$の8文字を1列に並べる並び方は，$8!$通り
Eを除いた5文字M，P，L，O，Yを並べ，さらに5文字の間と両端の6箇所のうち，3箇所にE$_1$，E$_2$，E$_3$が入ればよい．
したがって，どの2つのEも隣り合わない並び方は，$5!\times{}_6\mathrm{P}_3(\text{通り})$
よって，求める確率は，$\frac{5!\times{}_6\mathrm{P}_3}{8!}=\frac{5!\times 6\cdot 5\cdot 4}{8!}=\frac{5}{14}$
(2) 8文字の中から5文字を取り出して1列に並べる場合の数は，${}_8\mathrm{P}_5(\text{通り})$
(i) 5文字のうちEが3つのとき，${}_5\mathrm{P}_2\times{}_3\mathrm{P}_3(\text{通り})$
(ii) 5文字のうちEが2つのとき，${}_5\mathrm{P}_3\times{}_3\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{P}_2(\text{通り})$
(iii) 5文字のうちEが1つのとき，${}_5\mathrm{P}_4\times{}_3\mathrm{C}_1\times{}_5\mathrm{P}_1(\text{通り})$
(iv) 5文字のうちEを含まないとき，${}_5\mathrm{P}_5$通り
よって，(i)～(iv)より，求める確率は，
\[
\frac{{}_5\mathrm{P}_2\times{}_3\mathrm{P}_3+{}_5\mathrm{P}_3\times{}_3\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{P}_2+{}_5\mathrm{P}_4\times{}_3\mathrm{C}_1\times{}_5\mathrm{P}_1+{}_5\mathrm{P}_5}{{}_8\mathrm{P}_5}=\frac{5}{8}
\]
あわせて読みたい
【数学A】2章：確率（基本事項）
検索用コード（LaTeX） 本文・解答側注 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 基本事項A2.1.1：事象と確率（One More） %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%...
あわせて読みたい
【数学A】2章：確率（節末問題・章末問題）
節末A2.1.1〜A2.1.5の解答 節末A2.1.1節末A2.1.2節末A2.1.3節末A2.1.4節末A2.1.5 リンク（関連例題） https://onemath.net/onemorea-reidai2-1-2 https://onemath.net/o...