【数学A】例題2.1.7：和事象の確率（One More）★★

% 例題A2.1.7：和事象の確率 （One More）★★
1から99までの番号をつけた99枚のカードがあり,この中から1枚のカードを取り出すとき,その番号が5の倍数または8の倍数である確率を求めよ.

% 解答（例題A2.1.7）
1枚のカードを取り出す場合の数は,99通り カードの番号が5の倍数である事象を$A$,8の倍数である事象を$B$とすると,番号が5の倍数または8の倍数である事象は$A \cup B$である.$A=\{5 \cdot 1,5 \cdot 2,\ldots,5 \cdot 19\}$より,$n(A)=19$$B=\{8 \cdot 1,8 \cdot 2,\ldots,8 \cdot 12\}$より,$n(B)=12$したがって,事象$A,B$が起こる確率はそれぞれ,$$P(A)=\frac{19}{99},P(B)=\frac{12}{99}$$また,事象$A \cap B$は,カードの番号が5の倍数かつ8の倍数,すなわち,40の倍数である事象である.$A \cap B=\{40,80\}$より,$n(A \cap B)=2$ゆえに,事象$A\cap B$が起こる確率は,$P(A \cap B)=\frac{2}{99}$よって,求める確率は,$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) =\frac{19}{99}+\frac{12}{99}-\frac{2}{99}=\frac{29}{99}$$

% 問題A2.1.7
1から120までの番号をつけた120枚のカードがあり,この中から1枚のカードを取り出すとき,その番号が6の倍数または7の倍数である確率を求めよ.

% 解答A2.1.7
1枚のカードを取り出す場合の数は,120通り カードの番号が6の倍数である事象を$A$,7の倍数である事象を$B$とすると,番号が6の倍数または7の倍数である事象は$A \cup B$である.$A=\{6 \cdot 1,6 \cdot 2,\ldots,6 \cdot 20\}$より,$n(A)=20$$B=\{7 \cdot 1,7 \cdot 2,\ldots,7 \cdot 17\}$より,$n(B)=17$したがって,事象$A,B$が起こる確率はそれぞれ,$$P(A)=\frac{20}{120},P(B)=\frac{17}{120}$$また,事象$A \cap B$は,カードの番号が6の倍数かつ7の倍数,すなわち,42の倍数である事象である.$A \cap B=\{42,84\}$より,$n(A \cap B)=2$ゆえに,事象$A\cap B$が起こる確率は,$P(A \cap B)=\frac{2}{120}$よって,求める確率は,$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) =\frac{20}{120}+\frac{17}{120}-\frac{2}{120}=\frac{7}{24}$$