% 例題A2.1.8：余事象の確率 （One More）★★
(1)12個の部品の中に3個の不良品が含まれている.この中から同時に4個の部品を取り出すとき,少なくとも1個の不良品が含まれる確率を求めよ. (2)赤玉6個と白玉7個の合計13個の玉が入っている袋の中から,4個の玉を同時に取り出すとき,赤玉,白玉がともに少なくとも1個取り出される確率を求めよ.
% 解答（例題A2.1.8）
(1)少なくとも1個の不良品が含まれる事象を$A$とすると,余事象$\overline{A}$は4個とも不良品ではない事象であるから,その確率は,$$P(\overline{A})=\frac{{ }_9 \mathrm{C}_4}{{ }_{12} \mathrm{C}_4}=\frac{14}{55}$$よって,求める確率は,$$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}$$(2)玉の取り出し方の総数は,${ }_{13} \mathrm{C}_4$通り 赤玉,白玉がともに少なくとも1個取り出される場合の余事象を考えると,次の2つの場合がある. (i)4個すべてが赤玉であるとき,その確率は,$\frac{{ }_{6} \mathrm{C}_4}{{ }_{13} \mathrm{C}_4}=\frac{3}{143}$(ii)4個すべてが白玉であるとき,その確率は,$\frac{{ }_7 \mathrm{C}_4}{{ }_{13} \mathrm{C}_4}=\frac{7}{143}$よって,(i),(ii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$1-\left(\frac{3}{143}+\frac{7}{143} \right)=\frac{133}{143}$$
% 問題A2.1.8
(1)11個の部品の中に3個の不良品が含まれている.この中から同時に4個の部品を取り出すとき,少なくとも1個の不良品が含まれる確率を求めよ. (2)赤玉7個と白玉5個の合計12個の玉が入っている袋の中から,4個の玉を同時に取り出すとき,赤玉,白玉がともに少なくとも1個取り出される確率を求めよ.
% 解答A2.1.8
(1)少なくとも1個の不良品が含まれる事象を$A$とすると,余事象$\overline{A}$は4個とも不良品ではない事象であるから,その確率は,$$P(\overline{A})=\frac{{ }_8 \mathrm{C}_4}{{ }_{11} \mathrm{C}_4}=\frac{70}{330}=\frac{7}{33}$$よって,求める確率は,$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{7}{33}=\frac{26}{33}$(2)玉の取り出し方の総数は,${ }_{12} \mathrm{C}_4$通り 赤玉,白玉がともに少なくとも1個取り出される場合の余事象を考えると,次の2つの場合がある. (i)4個すべてが赤玉であるとき,その確率は,$\frac{{ }_{7} \mathrm{C}_4}{{ }_{12} \mathrm{C}_4}=\frac{35}{495}$(ii)4個すべてが白玉であるとき,その確率は,$\frac{{ }_{5} \mathrm{C}_4}{{ }_{12} \mathrm{C}_4}=\frac{5}{495}$よって,(i),(ii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$1-\left(\frac{35}{495}+\frac{5}{495} \right)=1-\frac{40}{495}=\frac{91}{99}$$
