【数学A】例題2.1.8：余事象の確率（One More）★★

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% 例題A2.1.8：余事象の確率（One More）★★
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(1) 12個の部品の中に3個の不良品が含まれている．この中から同時に4個の部品を取り出すとき，少なくとも1個の不良品が含まれる確率を求めよ．

(2) 赤玉6個と白玉7個の合計13個の玉が入っている袋の中から，4個の玉を同時に取り出すとき，赤玉，白玉がともに少なくとも1個取り出される確率を求めよ．

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% 例題A2.1.8の解答（One More）★★
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(1) 少なくとも1個の不良品が含まれる事象を$A$とすると，余事象$\overline{A}$は4個とも不良品ではない事象であるから，その確率は，

\[
P(\overline{A})=\frac{{}_9\mathrm{C}_4}{{}_{12}\mathrm{C}_4}=\frac{14}{55}
\]

よって，求める確率は，

\[
P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}
\]

(2) 玉の取り出し方の総数は，${}_{13}\mathrm{C}_4$通り

赤玉，白玉がともに少なくとも1個取り出される場合の余事象を考えると，次の2つの場合がある．

(i) 4個すべてが赤玉であるとき，その確率は，$\frac{{}_{6}\mathrm{C}_4}{{}_{13}\mathrm{C}_4}=\frac{3}{143}$

(ii) 4個すべてが白玉であるとき，その確率は，$\frac{{}_7\mathrm{C}_4}{{}_{13}\mathrm{C}_4}=\frac{7}{143}$よって，(i)，(ii)は互いに排反であるから，求める確率は，

\[
1-(\frac{3}{143}+\frac{7}{143})=\frac{133}{143}
\]

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% 問題A2.1.8：余事象の確率（One More）★★
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(1) 11個の部品の中に3個の不良品が含まれている．この中から同時に4個の部品を取り出すとき，少なくとも1個の不良品が含まれる確率を求めよ．

(2) 赤玉7個と白玉5個の合計12個の玉が入っている袋の中から，4個の玉を同時に取り出すとき，赤玉，白玉がともに少なくとも1個取り出される確率を求めよ．

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% 問題A2.1.8の解答（One More）★★
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(1) 少なくとも1個の不良品が含まれる事象を$A$とすると，余事象$\overline{A}$は4個とも不良品ではない事象であるから，その確率は，

\[
P(\overline{A})=\frac{{}_8\mathrm{C}_4}{{}_{11}\mathrm{C}_4}=\frac{70}{330}=\frac{7}{33}
\]

よって，求める確率は，$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{7}{33}=\frac{26}{33}$

(2) 玉の取り出し方の総数は，${}_{12}\mathrm{C}_4$通り

赤玉，白玉がともに少なくとも1個取り出される場合の余事象を考えると，次の2つの場合がある．

(i) 4個すべてが赤玉であるとき，その確率は，$\frac{{}_{7}\mathrm{C}_4}{{}_{12}\mathrm{C}_4}=\frac{35}{495}$

(ii) 4個すべてが白玉であるとき，その確率は，$\frac{{}_{5}\mathrm{C}_4}{{}_{12}\mathrm{C}_4}=\frac{5}{495}$よって，(i)，(ii)は互いに排反であるから，求める確率は，

\[
1-(\frac{35}{495}+\frac{5}{495})=1-\frac{40}{495}=\frac{91}{99}
\]

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% 例題A2.1.8の側注：余事象の確率（One More）★★
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% 側注1
「少なくとも」が含まれる事象は，余事象を考えるとよい．

% 側注2
\begin{align*}
\frac{{}_9\mathrm{C}_4}{{}_{12}\mathrm{C}_4}&=\frac{\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\
&=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}\\
&=\frac{14}{55}
\end{align*}

% 側注3
余事象の確率を考える．

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% 問題A2.1.8の側注：余事象の確率（One More）★★
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% 側注1
「少なくとも」が含まれる事象は，余事象を考えるとよい．

% 側注2
\begin{align*}
\frac{{}_8\mathrm{C}_4}{{}_{11}\mathrm{C}_4}&=\frac{\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\
&=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}\\
&=\frac{7}{33}
\end{align*}

% 側注3
余事象の確率を考える．

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% 例題A2.1.8の考え方・補足など：余事象の確率（One More）★★
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% 考え方
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事象$A$に対して，$A$が起こらない事象を余事象$\overline{A}$で表し，$P(\overline{A})=1-P(A)$が成り立つ．一般に，事象に「少なくとも」が含まれる場合，余事象を考えるとよい．

(1) 不良品が1個の場合，不良品が2個の場合，不良品が3個の場合をそれぞれ考えて計算するには手間が掛かる．そこで，余事象となる4個とも不良品ではない事象を考える．

(2) 赤玉が3個であり白玉が1個の場合，赤玉が2個であり白玉が2個の場合，赤玉が1個であり白玉が3個の場合をそれぞれ考えて計算するには手間が掛かる．そこで，余事象を考える．

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% One Point
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「少なくとも」が含まれる事象は，余事象を用いるとよい．