問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A2.1.9：じゃんけんの確率（One More）★★★
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4人でじゃんけんを行うとき，次の確率を求めよ．
(1) 1回のじゃんけんで，1人だけが勝つ確率
(2) 1回のじゃんけんで，2人が勝ち，2人が負ける確率
(3) 1回のじゃんけんで，あいこになる確率
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% 例題A2.1.9の解答（One More）★★★
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4人のじゃんけんの手の出し方は，$3^4=81(\text{通り})$
(1) 勝つ1人の選び方は，${}_4\mathrm{C}_1$通りであり，その勝つ1人の手の出し方は${}_3\mathrm{C}_1$通りであるから，その場合の数は，
\[
{}_4\mathrm{C}_1\times{}_3\mathrm{C}_1=12(\text{通り})
\]
よって，求める確率は，$\frac{12}{81}=\frac{4}{27}$
(2) 勝つ2人の選び方は${}_4\mathrm{C}_2$通りであり，その勝つ2人の手の出し方は${}_3\mathrm{C}_1$通りであるから，その場合の数は，
\[
{}_4\mathrm{C}_2\times{}_3\mathrm{C}_1=18(\text{通り})
\]
よって，求める確率は，$\frac{18}{81}=\frac{2}{9}$
(3) あいこになる事象は，勝敗が決まる事象の余事象である．勝敗が決まる事象は，以下の3つの場合に対応する．
(i) 1人だけが勝つとき
(1) より，その確率は，$\frac{4}{27}$
(ii) ちょうど2人が勝つとき
(2) より，その確率は，$\frac{2}{9}$
(iii) ちょうど3人が勝つとき
勝つ3人の選び方は${}_4\mathrm{C}_3$通りであり，勝つ3人の手の出し方は${}_3\mathrm{C}_1$通りであるから，その確率は，$\frac{{}_4\mathrm{C}_3\times{}_3\mathrm{C}_1}{81}=\frac{4}{27}$
よって，(i)〜(iii)より，求める確率は，
\[
1-(\frac{4}{27}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27})=1-\frac{14}{27}=\frac{13}{27}
\]
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% 問題A2.1.9：じゃんけんの確率（One More）★★★
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5人でじゃんけんを行うとき，次の確率を求めよ．
(1) 1回のじゃんけんで，1人だけが勝つ確率
(2) 1回のじゃんけんで，3人が勝ち，2人が負ける確率
(3) 1回のじゃんけんで，あいこになる確率
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% 問題A2.1.9の解答（One More）★★★
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5人のじゃんけんの手の出し方は，$3^5=243(\text{通り})$
(1) 勝つ1人の選び方は，${}_5\mathrm{C}_1$通りであり，その勝つ1人の手の出し方は${}_3\mathrm{C}_1$通りであるから，その場合の数は，
\[
{}_5\mathrm{C}_1\times{}_3\mathrm{C}_1=15(\text{通り})
\]
よって，求める確率は，$\frac{15}{243}=\frac{5}{81}$
(2) 勝つ3人の選び方は${}_5\mathrm{C}_3$通りであり，その勝つ3人の手の出し方は${}_3\mathrm{C}_1$通りであるから，その場合の数は，
\[
{}_5\mathrm{C}_3\times{}_3\mathrm{C}_1=30(\text{通り})
\]
よって，求める確率は，$\frac{30}{243}=\frac{10}{81}$
(3) あいこになる事象は，勝敗が決まる事象の余事象である．勝敗が決まる事象は，以下の4つの場合に対応する．
(i) 1人だけが勝つとき
(1) より，その確率は，$\frac{5}{81}$
(ii) ちょうど2人が勝つとき
(2) と同様に考えると，その確率は，$\frac{10}{81}$
(iii) ちょうど3人が勝つとき
(2) より，その確率は，$\frac{10}{81}$
(iv) ちょうど4人が勝つとき
(1)と同様に考えると，その確率は，$\frac{5}{81}$
(i)〜(iv)より，求める確率は，
\[
1-(\frac{5}{81}+\frac{10}{81}+\frac{10}{81}+\frac{5}{81})=1-\frac{30}{81}=\frac{17}{27}
\]
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