【数学A】例題2.2.1：独立な試行の確率（One More）★

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% 例題A2.2.1：独立な試行の確率（One More）★
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(1) さいころを2回投げる．このとき，1回目は3以下の目，2回目は5以上の目が出る確率を求めよ．

(2) A，B，Cの3人がゴールに向かって1つのボールを蹴るとき，ゴールに成功する確率はそれぞれ$\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{1}{2}$であるとする．この3人がそれぞれ1つのボールを蹴ったとき，少なくとも1人がゴールを決める確率を求めよ．

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% 例題A2.2.1の解答（One More）★
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(1) さいころを投げる2回の試行は，独立な試行である．

1回目に3以下の目が出る確率は，$\frac{3}{6}$

2回目に5以上の目が出る確率は，$\frac{2}{6}$

よって，求める確率は，
\[
\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}
\]

(2) A，B，Cの3人がゴールに向かってボールを蹴る試行は，独立な試行である．また，少なくとも1人がゴールを決めるという事象は，3人ともゴールを決めないという事象の余事象である．

Aがゴールを決めない確率は，$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Bがゴールを決めない確率は，$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

Cがゴールを決めない確率は，$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

したがって，3人ともゴールを決めない確率は，

\[
\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}
\]

よって，少なくとも1人がゴールを決める確率は，

\[
1-\frac{1}{24}=\frac{23}{24}
\]

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% 問題A2.2.1：独立な試行の確率（One More）★
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(1) さいころを2回投げる．このとき，1回目は偶数の目，2回目は4以下の目が出る確率を求めよ．

(2) X，Y，Zの3人がフリースローを投げるとき，成功する確率はそれぞれ$\frac{4}{5},\frac{3}{4},\frac{2}{3}$であるとする．この3人がそれぞれ1回ずつフリースローを投げたとき，少なくとも1人が成功する確率を求めよ．

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% 問題A2.2.1の解答（One More）★
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(1) さいころを投げる2回の試行は，独立な試行である．

1回目に偶数の目が出る確率は，$\frac{3}{6}$

2回目に4以下の目が出る確率は，$\frac{4}{6}$

よって，求める確率は，

\[
\frac{3}{6}\times\frac{4}{6}=\frac{1}{3}
\]

(2) X，Y，Zの3人がフリースローを投げる試行は，独立な試行である．また，少なくとも1人が成功するという事象は，3人とも失敗するという事象の余事象である．

Xが失敗する確率は，$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$

Yが失敗する確率は，$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Zが失敗する確率は，$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

したがって，3人とも失敗する確率は，

\[
\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{60}
\]

よって，少なくとも1人が成功する確率は，

\[
1-\frac{1}{60}=\frac{59}{60}
\]

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% 例題A2.2.1の側注：独立な試行の確率（One More）★
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% 側注1
1回目は1，2，3の3通り，2回目は5，6の2通りである．

% 側注2
独立な試行であることから，掛け合わせる．

% 側注3
「少なくとも」が含まれる事象は，余事象を考えるとよい．

% 側注4
\begin{align*}
&\text{(ゴールを決めない確率)}\\
=&1-\text{(ゴールを決める確率)}
\end{align*}

% 側注5
ゴールを決めない試行も独立な試行であり，掛け合わせる．

% 側注6
余事象の確率を考える．

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% 問題A2.2.1の側注：独立な試行の確率（One More）★
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% 側注1
1回目は2，4，6の3通り，2回目は1，2，3，4の4通りである．

% 側注2
独立な試行であることから，掛け合わせる．

% 側注3
「少なくとも」が含まれる事象は，余事象を考えるとよい．

% 側注4
\begin{align*}
&\text{(失敗する確率)}\\
=&1-\text{(成功する確率)}
\end{align*}

% 側注5
失敗する試行も独立な試行であり，掛け合わせる．

% 側注6
余事象の確率を考える．

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% 例題A2.2.1の考え方・補足など：独立な試行の確率（One More）★
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% 考え方
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(1) さいころを投げる2回の試行は独立な試行である．

(2) とくに断りがないことから，A，B，Cがゴールに向かってボールを蹴る結果は互いに影響を及ぼさないと考えてよい．独立な試行と考え，「少なくとも」とあることから，余事象を用いて確率を求める．

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% 独立な試行の確率
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試行$\mathrm{T}_1,\mathrm{~T}_2,\ldots,\mathrm{T}_n$が独立のとき，$\mathrm{T}_1$で事象$A_1$が起こり，$\mathrm{T}_2$で事象$A_2$が起こり，$\cdots,\mathrm{T}_n$で事象$A_n$が起こる確率は，

\[
P(A_1)\times P(A_2)\times\cdots\times P(A_n)
\]