【数学A】例題2.2.11：確率の乗法定理1（One More）★★

% 例題A2.2.11：確率の乗法定理1 （One More）★★
当たりくじが3本入っている10本のくじがある.$\mathrm{a},\mathrm{b}$がこの順にくじを1本ずつ引くとき,次の確率を求めよ.ただし,引いたくじは戻さないものとする. (1)a,bがともに当たりくじを引く確率 (2)bが当たりくじを引く確率

% 解答（例題A2.2.11）
$\mathrm{a},\mathrm{b}$が当たりくじを引く事象をそれぞれ$A,B$とする. (1)$P(A)=\frac{3{10}},P_A(B)=\frac{2}{9}$であるから,乗法定理より,求める確率$P(A \cap B)$は,$$P(A \cap B)=P(A)\times P_A(B)=\frac{3}{10} \times\frac{2}{9}=\frac{1}{15}$$(2) (i)aもbも当たりくじを引くとき (1)より,$P(A \cap B)=\frac{1}{15}$(ii)aがはずれくじを引き,bが当たりくじを引くとき$P(\overline{A})=\frac{7}{10},P_{\overline{A}}(B)=\frac{3}{9}$であるから,乗法定理より,その確率は,$$P(\overline{A} \cap B)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=\frac{7}{10} \times\frac{3}{9}=\frac{7}{30}$$よって,(i),(ii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)=\frac{1}{15}+\frac{7}{30}=\frac{3}{10}$$

% 問題A2.2.11
当たりくじが4本入っている13本のくじがある.$\mathrm{a},\mathrm{b}$がこの順にくじを1本ずつ引くとき,次の確率を求めよ.ただし,引いたくじは戻さないものとする. (1)a,bがともに当たりくじを引く確率 (2)bが当たりくじを引く確率

% 解答A2.2.11
$\mathrm{a},\mathrm{b}$が当たりくじを引く事象をそれぞれ$A,B$とする. (1)$P(A)=\frac{4}{13},P_A(B)=\frac{3}{12}$であるから,乗法定理より,求める確率$P(A \cap B)$は,$$P(A \cap B)=P(A)\times P_A(B)=\frac{4}{13} \times\frac{3}{12}=\frac{1}{13}$$(2) (i)aもbも当たりくじを引くとき (1)より,$P(A \cap B)=\frac{1}{13}$(ii)aがはずれくじを引き,bが当たりくじを引くとき$P(\overline{A})=\frac{9}{13},P_{\overline{A}}(B)=\frac{4}{12}$であるから,乗法定理より,その確率は,$$P(\overline{A} \cap B)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=\frac{9}{13} \times\frac{4}{12}=\frac{3}{13}$$よって,(i),(ii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)=\frac{1}{13}+\frac{3}{13}=\frac{4}{13}$$