【数学A】例題2.2.13：条件付き確率2（One More）★★★

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% 例題A2.2.13：条件付き確率2（One More）★★★
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ある製品を製造する2つの工場$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$があり，a工場で製造される製品は全体の$60\%$である．また，a工場で製造された製品には$5\%$の不良品が含まれており，b工場で製造された製品には$2\%$の不良品が含まれている．2つの工場で製造された多くの製品の中から，無作為に1個の製品を取り出したとき，次の確率を求めよ．

(1) 取り出した製品が不良品である確率

(2) 取り出した製品が不良品であったとき，それがa工場の製品である確率

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% 例題A2.2.13の解答（One More）★★★
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取り出した1個の製品がa工場からの製品である事象を$A$，b工場からの製品である事象を$B$，不良品である事象を$E$とすると，a工場で製造される製品は全体の$60\%$であるので，

\[
P(A)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5},P(B)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}
\]

a工場とb工場における不良品の割合はそれぞれ$5\%$，$2\%$であるから，

\[
P_A(E)=\frac{5}{100}=\frac{1}{20},P_B(E)=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}
\]

(1)

\begin{align*}
&P(A\cap E)=P(A)\times P_A(E)=\frac{3}{5}\times\frac{1}{20}=\frac{3}{100},\\
&P(B\cap E)=P(B)\times P_B(E)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{50}=\frac{1}{125}
\end{align*}

よって，求める確率は，

\[
P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=\frac{3}{100}+\frac{1}{125}=\frac{19}{500}
\]

(2) 不良品であったときに，それがa工場の製品である確率は$P_E(A)$であるから，

\[
P_E(A)=\frac{P(A\cap E)}{P(E)}=\frac{3}{100}\div\frac{19}{500}=\frac{15}{19}
\]

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% 問題A2.2.13：条件付き確率2（One More）★★★
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ある地域に2つの病院$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$があり，a病院で実施される検査は全体の$70\%$である．また，a病院で実施された検査のうち，誤判定であったものの割合は$4\%$であり，b病院で実施された検査のうち，誤判定であったものの割合は$3\%$である．2つの病院で実施された多くの検査の中から，無作為に1件の検査を選んだとき，次の確率を求めよ．

(1) 選んだ検査で誤判定が発生している確率

(2) 選んだ検査で誤判定が発生していたとき，それがa病院で実施されたものである確率

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% 問題A2.2.13の解答（One More）★★★
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選んだ1件の検査がa病院で実施されたものである事象を$A$，b病院で実施されたものである事象を$B$，誤判定が発生している事象を$E$とすると，a病院で実施される検査は全体の$70\%$であるので，

\[
P(A)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10},P(B)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}
\]

a病院とb病院で実施される検査の誤判定率はそれぞれ$4\%$，$3\%$であるから，

\[
P_A(E)=\frac{4}{100}=\frac{1}{25},P_B(E)=\frac{3}{100}
\]

(1)

\begin{align*}
&P(A\cap E)=P(A)\times P_A(E)=\frac{7}{10}\times\frac{1}{25}=\frac{7}{250},\\
&P(B\cap E)=P(B)\times P_B(E)=\frac{3}{10}\times\frac{3}{100}=\frac{9}{1000}
\end{align*}

よって，求める確率は，

\[
P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=\frac{7}{250}+\frac{9}{1000}=\frac{37}{1000}
\]

(2) 誤判定が発生していたときに，それがa病院で実施されたものである確率は$P_E(A)$であるから，

\[
P_E(A)=\frac{P(A\cap E)}{P(E)}=\frac{7}{250}\div\frac{37}{1000}=\frac{28}{37}
\]

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% 例題A2.2.13の側注：条件付き確率2（One More）★★★
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% 側注1
製品がa工場の製品であったときに，不良品である確率$P_A(E)$と，製品がb工場の製品であったときに，不良品である確率$P_B(E)$がわかる．

% 側注2
$A\cap E$と$B\cap E$は互いに排反である．

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% 問題A2.2.13の側注：条件付き確率2（One More）★★★
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% 側注1
検査がa病院で実施されたものであったときに，誤判定が発生する確率$P_A(E)$と，検査がb病院で実施されたものであったときに，誤判定が発生する確率$P_B(E)$がわかる．

% 側注2
$A\cap E$と$B\cap E$は互いに排反である．

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% 例題A2.2.13の考え方・補足など：条件付き確率2（One More）★★★
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% 考え方
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(1)は，不良品にはa工場で製造された不良品とb工場で製造された不良品の2つの場合があり，これらは互いに排反であることを利用する．(2)は，不良品であることがわかっている条件のもとで，それがa工場の製品である確率を求める．つまり，取り出した1個の製品がa工場からの製品である事象を$A$，b工場からの製品である事象を$B$，不良品である事象を$E$とすると，条件付き確率$P_E(A)$を考えればよい．なお，製品が全体で10000個製造されたとすると，右の表のように具体的な数値を用いて考えることができ，理解しやすくなる．(1)の確率は$\frac{380}{10000}=\frac{19}{500}$となり，(2)の確率は$\frac{300}{380}=\frac{15}{19}$となる．

\begin{tabular}{|c||c|c|}
\hline 工場&製造数&不良品\\
\hline a&6000&300\\
\hline b&4000&80\\
\hline 計&10000&380\\
\hline
\end{tabular}