問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A2.2.16：期待値（有利・不利）（One More）★★
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赤玉5個，白玉4個が入った袋から玉を1個取り出してはもとに戻すことを3回行う．このとき，次の2つの場合のうち，どちらを選ぶ方が有利であるか．
(i) 赤玉1個につき300円をもらう．
(ii) 白玉が2個出たときだけ1500円をもらう．
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% 例題A2.2.16の解答（One More）★★
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(i)，(ii)のそれぞれの場合について，もらえる金額の期待値を$E_1$円，$E_2$円とする．
(i) $E_1$について
赤玉が0個となる確率は，$(\frac{4}{9})^3=\frac{64}{729}$
赤玉が1個となる確率は，${}_3\mathrm{C}_1(\frac{5}{9})(\frac{4}{9})^2=\frac{240}{729}$
赤玉が2個となる確率は，${}_3\mathrm{C}_2(\frac{5}{9})^2(\frac{4}{9})=\frac{300}{729}$
赤玉が3個となる確率は，$(\frac{5}{9})^3=\frac{125}{729}$
したがって，もらえる金額を$X$円とすると，$X$のとりうる値と，それぞれの値をとる確率は，次の表のようになる．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline$X$&0&300&600&900&計\\
\hline 確率&$\frac{64}{729}$&$\frac{240}{729}$&$\frac{300}{729}$&$\frac{125}{729}$&1\\
\hline
\end{tabular}
ゆえに，
\begin{align*}
E_1=0\times\frac{64}{729}+300\times\frac{240}{729}\\
+600\times\frac{300}{729}+900\times\frac{125}{729}=500(\text{円})
\end{align*}
(ii) $E_2$について
白玉が2個となる確率は，${}_3\mathrm{C}_2(\frac{4}{9})^2(\frac{5}{9})=\frac{240}{729}$
白玉が0個または1個または3個となる確率は，$1-\frac{240}{729}=\frac{489}{729}$
したがって，もらえる金額を$Y$円とすると，$Y$のとりうる値と，それぞれの値をとる確率は，次の表のようになる．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline$Y$&1500&0&計\\
\hline 確率&$\frac{240}{729}$&$\frac{489}{729}$&1\\
\hline
\end{tabular}
ゆえに$E_2=1500\times\frac{240}{729}+0\times\frac{489}{729}\fallingdotseq 493.8(\text{円})$
よって，$E_1>E_2$であるから，(i)を選ぶ方が有利である．
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% 問題A2.2.16：期待値（有利・不利）（One More）★★
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10本のうち，当たりくじが3本，はずれくじが7本ある．くじを1回引いてはもとに戻すことを3回行う．このとき，次の2つの場合のうち，どちらを選ぶ方が有利であるか．
(i) 当たりくじ1本につき300円をもらう．
(ii) 当たりくじを2本引いたときだけ1500円をもらう．
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% 問題A2.2.16の解答（One More）★★
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(i)，(ii)のそれぞれの場合について，もらえる金額の期待値を$E_1$円，$E_2$円とする．
(i) $E_1$について
当たりくじが0本となる確率は，$(\frac{7}{10})^3=\frac{343}{1000}$
当たりくじが1本となる確率は，${}_3\mathrm{C}_1(\frac{3}{10})(\frac{7}{10})^2=\frac{441}{1000}$
当たりくじが2本となる確率は，${}_3\mathrm{C}_2(\frac{3}{10})^2(\frac{7}{10})=\frac{189}{1000}$
当たりくじが3本となる確率は，$(\frac{3}{10})^3=\frac{27}{1000}$
したがって，もらえる金額を$X$円とすると，$X$のとりうる値と，それぞれの値をとる確率は，次の表のようになる．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline$X$&0&300&600&900&計\\
\hline 確率&$\frac{343}{1000}$&$\frac{441}{1000}$&$\frac{189}{1000}$&$\frac{27}{1000}$&1\\
\hline
\end{tabular}
ゆえに，
\begin{align*}
E_1=0\times\frac{343}{1000}+300\times\frac{441}{1000}\\
+600\times\frac{189}{1000}+900\times\frac{27}{1000}=270(\text{円})
\end{align*}
(ii) $E_2$について
当たりくじが2本となる確率は，${}_3\mathrm{C}_2(\frac{3}{10})^2(\frac{7}{10})=\frac{189}{1000}$
当たりくじが0本または1本または3本となる確率は，$1-\frac{189}{1000}=\frac{811}{1000}$
したがって，もらえる金額を$Y$円とすると，$Y$のとりうる値と，それぞれの値をとる確率は，次の表のようになる．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline$Y$&1500&0&計\\
\hline 確率&$\frac{189}{1000}$&$\frac{811}{1000}$&1\\
\hline
\end{tabular}
ゆえに$E_2=1500\times\frac{189}{1000}+0\times\frac{811}{1000}=283.5(\text{円})$
よって，$E_1<E_2$であるから，(ii)を選ぶ方が有利である．
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