【数学A】例題2.2.5：3つの事象に関する反復試行の確率（One More）★★★

% 例題A2.2.5：3つの事象に関する反復試行の確率 （One More）★★★
赤玉1個,白玉2個,青玉3個が入っている袋の中から,1個の玉を取り出し,色を調べてからもとに戻すことを5回行うとき,次の確率を求めよ. (1)赤玉が1回,白玉が2回,青玉が2回出る確率 (2)赤玉と白玉が出る回数が同じである確率

% 解答（例題A2.2.5）
この袋から玉を1個取り出すとき,赤玉,白玉,青玉が出る確率は,それぞれ$\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2}$である. (1)求める確率は,$$\frac{5!}{1!2!2!} \times\left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{36}$$(2)赤玉と白玉が出る回数が同じであるのは,赤玉と白玉の出る回数が0回,1回,2回の3つの場合がある. (i)赤玉と白玉が1回も出ないとき$$\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}$$(ii)赤玉と白玉が1回ずつ出るとき$$\frac{5!}{1!1!3!} \times \left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{5}{36}$$(iii)赤玉と白玉が2回ずつ出るとき$$\frac{5!}{2!2!1!} \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{5}{108}$$よって,(i)〜(iii)より,求める確率は,$$\frac{1}{32}+\frac{5}{36}+\frac{5}{108}=\frac{187}{864}$$

% 問題A2.2.5
赤玉1個,白玉2個,青玉2個が入っている袋の中から,1個の玉を取り出し,色を調べてからもとに戻すことを5回行うとき,次の確率を求めよ. (1)赤玉が1回,白玉が2回,青玉が2回出る確率 (2)赤玉が出る回数が白玉が出る回数よりも1回だけ多くなる確率

% 解答A2.2.5
この袋から玉を1個取り出すとき,赤玉,白玉,青玉が出る確率は,それぞれ$\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{2}{5}$である. (1)求める確率は,$$\frac{5!}{1!2!2!} \times \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{96}{625}$$(2)赤玉が出る回数が白玉が出る回数よりも1回だけ多くなるのは,以下の3つの場合がある. (i)赤玉が1回,白玉が0回,青玉が4回出るとき$$\frac{5!}{1!4!} \times \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^4=\frac{16}{625}$$(ii)赤玉が2回,白玉が1回,青玉が2回出るとき$$\frac{5!}{2!1!2!} \times \left(\frac{1}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{48}{625}$$(iii)赤玉が3回,白玉が2回,青玉が0回出るとき$$\frac{5!}{3!2!} \times \left(\frac{1}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{8}{625}$$よって,(i)〜(iii)より,求める確率は,$$\frac{16}{625}+\frac{48}{625}+\frac{8}{625}=\frac{72}{625}$$