% 例題A2.2.6：反復試行の確率（ランダムウォーク） （One More）★★★
(1)数直線上の原点にある点Pが,毎回確率$\frac{1}{4}$で正の方向に2だけ移動し,確率$\frac{3}{4}$で負の方向に1だけ移動する.6回の移動後に点Pが原点にある確率を求めよ. (2)数直線上の原点にある点Pが,1個のさいころを投げて,1か2か3の目が出たときは正の方向に1だけ移動し,4か5の目が出たときは負の方向に1だけ移動し,6の目が出たときは移動しないとする.さいころを3回投げたとき,点Pが原点にある確率を求めよ.
% 解答（例題A2.2.6）
(1)$x$回正の方向に2,$y$回負の方向に1だけ移動したとすると,$$x+y=6 \cdots (\mathrm{I})$$移動後の位置は,$2x-y=0 \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)を解くと,$x=2,y=4$よって,求める確率は,6回の移動のうち2回正の方向に2だけ移動する確率であるので,$${ }_6 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^4=\frac{1215}{4096}$$(2)1個のさいころを投げるとき,1か2か3の目が出る事象を$A_1$, 4か5の目が出る事象を$A_2$, 6の目が出る事象を$A_3$, とする.これらの確率は,それぞれ,$$P\left(A_1\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},P\left(A_2\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P\left(A_3\right)=\frac{1}{6}$$$A_1$が$x$回,$A_2$が$y$回,$A_3$が$z$回$(x \geqq 0,y \geqq 0,z \geqq 0)$起こったとすると,$$x+y+z=3 \cdots (\mathrm{i})$$移動後の位置は,$x-y=0 \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)より,$x=y=0,z=3$または$x=y=z=1$よって,求める確率は,$$\left(\frac{1}{6}\right)^3+\frac{3!}{1!1!1!}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{1}{6}\right)^1=\frac{37}{216}$$
% 問題A2.2.6
(1)数直線上の原点にある点Pが,毎回確率$\frac{1}{3}$で正の方向に1だけ移動し,確率$\frac{2}{3}$で負の方向に2だけ移動する.6回の移動後に点Pが原点にある確率を求めよ. (2)数直線上の原点にある点Pが,1個のさいころを投げて,1か2の目が出たときは正の方向に2だけ移動し,3か4の目が出たときは負の方向に1だけ移動し,5か6の目が出たときは移動しないとする.さいころを4回投げたとき,点Pが原点にある確率を求めよ.
% 解答A2.2.6
(1)$x$回正の方向に1,$y$回負の方向に2だけ移動したとすると,$$x+y=6 \cdots (\mathrm{I})$$移動後の位置は,$x-2y=0 \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)を解くと,$x=4,y=2$よって,求める確率は,6回の移動のうち4回正の方向に1だけ移動する確率であるので,$${ }_6 \mathrm{C}_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{20}{243}$$(2)1個のさいころを投げるとき,1か2の目が出る事象を$A_1$, 3か4の目が出る事象を$A_2$, 5か6の目が出る事象を$A_3$, とする.これらの確率は,それぞれ,$$P\left(A_1\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P\left(A_2\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P\left(A_3\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$$A_1$が$x$回,$A_2$が$y$回,$A_3$が$z$回$(x \geqq 0,y \geqq 0,z \geqq 0)$起こったとすると,$$x+y+z=4 \cdots (\mathrm{i})$$移動後の位置は,$2x-y=0 \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)より,$x=0,y=0,z=4$または$x=1,y=2,z=1$よって,求める確率は,$$\left(\frac{1}{3}\right)^4+\frac{4!}{1!2!1!}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^1=\frac{13}{81}$$
