問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A2.2.6：反復試行の確率（ランダムウォーク）（One More）★★★
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(1) 数直線上の原点にある点Pが，毎回確率$\frac{1}{4}$で正の方向に2だけ移動し，確率$\frac{3}{4}$で負の方向に1だけ移動する．6回の移動後に点Pが原点にある確率を求めよ．
(2) 数直線上の原点にある点Pが，1個のさいころを投げて，1か2か3の目が出たときは正の方向に1だけ移動し，4か5の目が出たときは負の方向に1だけ移動し，6の目が出たときは移動しないとする．さいころを3回投げたとき，点Pが原点にある確率を求めよ．
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% 例題A2.2.6の解答（One More）★★★
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(1) $x$回正の方向に2，$y$回負の方向に1だけ移動したとすると，
\[
x+y=6\cdots\text{(i)}
\]
移動後の位置は，$2x-y=0\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)を解くと，$x=2,y=4$
よって，求める確率は，6回の移動のうち2回正の方向に2だけ移動する確率であるので，
\[
{}_6\mathrm{C}_2(\frac{1}{4})^2(\frac{3}{4})^4=\frac{1215}{4096}
\]
(2) 1個のさいころを投げるとき，1か2か3の目が出る事象を$A_1$，4か5の目が出る事象を$A_2$，6の目が出る事象を$A_3$，とする．これらの確率は，それぞれ，
\[
P(A_1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},P(A_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(A_3)=\frac{1}{6}
\]
$A_1$が$x$回，$A_2$が$y$回，$A_3$が$z$回$(x\geqq 0,y\geqq 0,z\geqq 0)$起こったとすると，
\[
x+y+z=3\cdots(\mathrm{i})
\]
移動後の位置は，$x-y=0\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)より，$x=y=0,z=3$または$x=y=z=1$
よって，求める確率は，
\[
(\frac{1}{6})^3+\frac{3!}{1!1!1!}(\frac{1}{2})^1(\frac{1}{3})^1(\frac{1}{6})^1=\frac{37}{216}
\]
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% 問題A2.2.6：反復試行の確率（ランダムウォーク）（One More）★★★
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(1) 数直線上の原点にある点Pが，毎回確率$\frac{1}{3}$で正の方向に1だけ移動し，確率$\frac{2}{3}$で負の方向に2だけ移動する．6回の移動後に点Pが原点にある確率を求めよ．
(2) 数直線上の原点にある点Pが，1個のさいころを投げて，1か2の目が出たときは正の方向に2だけ移動し，3か4の目が出たときは負の方向に1だけ移動し，5か6の目が出たときは移動しないとする．さいころを4回投げたとき，点Pが原点にある確率を求めよ．
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% 問題A2.2.6の解答（One More）★★★
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(1) $x$回正の方向に1，$y$回負の方向に2だけ移動したとすると，
\[
x+y=6\cdots\text{(i)}
\]
移動後の位置は，$x-2y=0\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)を解くと，$x=4,y=2$
よって，求める確率は，6回の移動のうち4回正の方向に1だけ移動する確率であるので，
\[
{}_6\mathrm{C}_4(\frac{1}{3})^4(\frac{2}{3})^2=\frac{20}{243}
\]
(2) 1個のさいころを投げるとき，1か2の目が出る事象を$A_1$，3か4の目が出る事象を$A_2$，5か6の目が出る事象を$A_3$，とする．これらの確率は，それぞれ，
\[
P(A_1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(A_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(A_3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
$A_1$が$x$回，$A_2$が$y$回，$A_3$が$z$回$(x\geqq 0,y\geqq 0,z\geqq 0)$起こったとすると，
\[
x+y+z=4\cdots(\mathrm{i})
\]
移動後の位置は，$2x-y=0\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)より，$x=0,y=0,z=4$または$x=1,y=2,z=1$
よって，求める確率は，
\[
(\frac{1}{3})^4+\frac{4!}{1!2!1!}(\frac{1}{3})^1(\frac{1}{3})^2(\frac{1}{3})^1=\frac{13}{81}
\]
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