% 例題A3.1.10：メネラウスの定理と面積比 （One More）★★★
$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$を$2: 1$に内分する点をそれぞれL,M,Nとし,ALとCN,$\mathrm{AL}$とBM,$\mathrm{BM}$とCNの交点をそれぞれP,Q,Rとする.このとき,次の三角形の面積を$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を用いて表せ. (1)$\triangle \mathrm{ABQ}$(2)$\triangle \mathrm{PQR}$
% 解答（例題A3.1.10）
$\mathrm{CM}: \mathrm{AM}=2: 1$より,$\mathrm{CA}: \mathrm{AM}=3: 1$また,$\mathrm{BL}: \mathrm{LC}=2: 1$であるから,$\triangle \mathrm{BCM}$と直線ALについて,メネラウスの定理より,$$\frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{LC}} \cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AM}} \cdot \frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QB}}=1$$$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QB}}=1$より,$\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{1}{6}$したがって,$\mathrm{MQ}: \mathrm{QB}=1:6$ゆえに,$\mathrm{MB}: \mathrm{QB}=7:6$よって,$$\triangle \mathrm{ABQ}=\frac{6}{7} \triangle \mathrm{ABM}=\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{2}{7} S$$(2)(1)と同様に,$\triangle \mathrm{CAN}$と直線BM,$\triangle \mathrm{ABL}$と直線CNについて,メネラウスの定理より,$$\triangle \mathrm{BCR}=\triangle \mathrm{CAP}=\frac{2}{7}S$$よって,$$\begin{aligned} \triangle \mathrm{PQR} &=\triangle \mathrm{ABC}-(\triangle \mathrm{ABQ}+\triangle \mathrm{BCR}+\triangle \mathrm{CAP})\\ &=S-3 \cdot \frac{2}{7} S=\frac{1}{7} S\end{aligned}$$
% 問題A3.1.10
$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$を$3: 1$に内分する点をそれぞれL,M,Nとし,ALとCN,$\mathrm{AL}$とBM,$\mathrm{BM}$とCNの交点をそれぞれP,Q,Rとする.このとき,次の三角形の面積を$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を用いて表せ. (1)$\triangle \mathrm{ABQ}$(2)$\triangle \mathrm{PQR}$
% 解答A3.1.10
$\mathrm{CM}: \mathrm{AM}=3: 1$より,$\mathrm{CA}: \mathrm{AM}=4: 1$また,$\mathrm{BL}: \mathrm{LC}=3: 1$であるから,$\triangle \mathrm{BCM}$と直線ALについて,メネラウスの定理より,$$\frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{LC}} \cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AM}} \cdot \frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QB}}=1$$$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QB}}=1$より,$\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{1}{12}$したがって,$\mathrm{MQ}: \mathrm{QB}=1:12$ゆえに,$\mathrm{MB}: \mathrm{QB}=13:12$よって,$$\triangle \mathrm{ABQ}=\frac{12}{13} \triangle \mathrm{ABM}=\frac{12}{13} \cdot \frac{1}{4} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{3}{13} S$$(2)(1)と同様に,$\triangle \mathrm{CAN}$と直線BM,$\triangle \mathrm{ABL}$と直線CNについて,メネラウスの定理より,$$\triangle \mathrm{BCR}=\triangle \mathrm{CAP}=\frac{3}{13}S$$よって,$$\begin{aligned} \triangle \mathrm{PQR} &=\triangle \mathrm{ABC}-(\triangle \mathrm{ABQ}+\triangle \mathrm{BCR}+\triangle \mathrm{CAP})\\ &=S-3 \cdot \frac{3}{13} S=\frac{4}{13} S\end{aligned}$$
