% 例題A3.1.5：三角形の傍心 （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$,$\angle \mathrm{A}$に対する傍心を$\mathrm{J}$とし,線分$\mathrm{IJ}$の中点を$\mathrm{M}$とする.このとき,次の問いに答えよ. (1)$\angle \mathrm{IBJ}$の大きさを求めよ. (2)$\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$を示せ.
% 解答（例題A3.1.5）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$の$\mathrm{B}$側の延長上に点$\mathrm{D}$をとる.$\mathrm{I}$は内心であるから,$$\angle \mathrm{CBI}=\angle \mathrm{ABI}$$$\mathrm{J}$は傍心であるから,$$\angle \mathrm{CBJ}=\angle \mathrm{DBJ}$$よって,$$\begin{aligned} \angle \mathrm{IBJ} &=\angle \mathrm{CBI}+\angle \mathrm{CBJ} \\ &=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{CBA}+\angle \mathrm{CBD})\\ &=90^{\circ} \end{aligned}$$(2)$\angle \mathrm{IBJ}=90^{\circ}$,$\mathrm{MI}=\mathrm{MJ}$より,$\mathrm{M}$は$\triangle \mathrm{IBJ}$の外心である. したがって,$\mathrm{MB}=\mathrm{MI} \cdots (\mathrm{i})$また,(1)と同様に考えると,$\angle \mathrm{ICJ}=90^{\circ}$となり,$\mathrm{M}$は$\triangle \mathrm{ICJ}$の外心である. したがって,$\mathrm{MC}=\mathrm{MI} \cdots (\mathrm{ii})$よって,(i),(ii)より,$\mathrm{MB}=\mathrm{MC} \blacksquare$
% 問題A3.1.5
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の二等分線と,$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$の外角の二等分線は,1点で交わることを示せ.
% 解答A3.1.5
$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$の外角の二等分線の交点を$\mathrm{J}$とする.$\mathrm{J}$から直線$\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$に下ろした垂線の足を,それぞれ$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$は垂線の足であるから,$$\angle \mathrm{APJ}=\angle \mathrm{ARJ}=90^\circ \cdots (\mathrm{i})$$また,$\mathrm{BJ}$は$\angle \mathrm{CBP}$の二等分線であることから,$$\mathrm{JP}=\mathrm{JQ}$$$\mathrm{CJ}$は$\angle \mathrm{BCR}$の二等分線であることから,$$\mathrm{JQ}=\mathrm{JR}$$したがって,$$\mathrm{JP}=\mathrm{JR} \cdots (\mathrm{ii})$$ゆえに,(i),(ii)より,直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから,$$\triangle \mathrm{APJ} \equiv \triangle \mathrm{ARJ}$$したがって,$\angle \mathrm{JAP}=\angle \mathrm{JAR}$ゆえに,$\mathrm{AJ}$は$\angle \mathrm{A}$の二等分線である. よって,$\angle \mathrm{A}$の二等分線と,$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$の外角の二等分線は,1点で交わる.$\blacksquare$
