問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A3.1.6：オイラー線（One More）★★★
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正三角形ではない鋭角三角形の$\triangle\mathrm{ABC}$において，外心を$\mathrm{O}$，垂心を$\mathrm{H}$，$\mathrm{CO}$の延長と$\triangle\mathrm{ABC}$の外接円の交点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，次のことを示せ．
(1) 四角形ADBHは平行四辺形である．
(2) $\mathrm{AH}=2\mathrm{OM}$
(3) $\triangle\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあり，$\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$
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% 例題A3.1.6の解答（One More）★★★
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(1) CDは$\triangle\mathrm{ABC}$の外接円の直径であるから，
\[
\mathrm{DB}\perp\mathrm{BC}
\]
Hは$\triangle\mathrm{ABC}$の垂心であるから，
\[
\mathrm{AH}\perp\mathrm{BC}
\]
したがって，$\mathrm{DB}\parallel\mathrm{AH}\cdots(\mathrm{i})$
同様に，$\mathrm{DA}\perp\mathrm{AC},\mathrm{BH}\perp\mathrm{AC}$より，$\mathrm{DA}\parallel\mathrm{BH}\cdots(\mathrm{ii})$
よって，(i)，(ii)より，四角形ADBHは平行四辺形である．$\blacksquare$
(2) (1)より，四角形ADBHは平行四辺形であるから，$\mathrm{AH}=\mathrm{DB}\cdots(\mathrm{iii})$
$\mathrm{OM}\perp\mathrm{BC}$より，$\mathrm{DB}\parallel\mathrm{OM}$であり，$\mathrm{O}$，$\mathrm{M}$はそれぞれ$\mathrm{CD}$，$\mathrm{BC}$の中点であるから，$\mathrm{DB}=2\mathrm{OM}\cdots(\mathrm{iv})$
よって，(iii)，(iv)より，$\mathrm{AH}=2\mathrm{OM}\blacksquare$
(3) $\mathrm{OH}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}^{\prime}$とする．
(1) ，(2)より，$\mathrm{OM}\parallel\mathrm{AH}$であるから，
\[
\mathrm{AG}^{\prime}:\mathrm{G}^{\prime}\mathrm{M}=\mathrm{AH}:\mathrm{OM}=2:1
\]
したがって，$\mathrm{G}^{\prime}$は$\triangle\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と一致する．
よって，$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあり，
\[
\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=\mathrm{OM}:\mathrm{AH}=1:2\blacksquare
\]
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% 問題A3.1.6：オイラー線（One More）★★★
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$\mathrm{AB}\ne\mathrm{AC}$である鋭角三角形$\triangle\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\triangle\mathrm{DEF}$の垂心を$\mathrm{O}$とするとき，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{OH}$の交点$\mathrm{G}$が，$\triangle\mathrm{ABC}$の重心であることを示せ．
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% 問題A3.1.6の解答（One More）★★★
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$\mathrm{O}$は$\triangle\mathrm{DEF}$の垂心であるから，$\mathrm{OD}\perp\mathrm{EF}$
$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はそれぞれ辺$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の中点であるから，中点連結定理より，
\[
\mathrm{EF}\parallel\mathrm{BC}
\]
したがって，$\mathrm{OD}\perp\mathrm{BC}\cdots(\mathrm{i})$
また，$\mathrm{H}$は$\triangle\mathrm{ABC}$の垂心であるから，$\mathrm{AH}\perp\mathrm{BC}\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)より，$\mathrm{OD}\parallel\mathrm{AH}$
$\triangle\mathrm{ABC}\backsim\triangle\mathrm{DEF}$であるから，$\mathrm{AH}:\mathrm{OD}=2:1$
$\mathrm{OD}\parallel\mathrm{AH}$より，$\mathrm{AG}:\mathrm{DG}=\mathrm{AH}:\mathrm{OD}=2:1$
よって，$\mathrm{G}$は$\triangle\mathrm{ABC}$の中線$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点であるから，点$\mathrm{G}$は$\triangle\mathrm{ABC}$の重心である．$\blacksquare$
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