% 例題A3.1.9：チェバの定理・メネラウスの定理の逆 （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,次のことを示せ. (1)$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$とし,辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と2辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.このとき,3直線$\mathrm{AP}$,$\mathrm{BR}$,$\mathrm{CQ}$は1点で交わる. (2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の中に点$\mathrm{P}$をとる.点$\mathrm{P}$から$\mathrm{AD}$および$\mathrm{AB}$に平行な線を引き,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}$との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$とする.$\mathrm{QT}$と$\mathrm{BD}$は平行ではないとし,$\mathrm{QT}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{O}$とすると,3点$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$,$\mathrm{O}$は一直線上にある.
% 解答（例題A3.1.9）
(1)$\mathrm{QR} \parallel \mathrm{BC}$より,$\mathrm{AQ} : \mathrm{QB}=\mathrm{AR} : \mathrm{RC}$したがって,$\mathrm{AQ} : \mathrm{QB}=m : n$とおくと,$$\mathrm{AR} : \mathrm{RC}=m : n$$ゆえに,$$\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}=\frac{m}{n} \cdot 1 \cdot \frac{n}{m}=1$$よって,チェバの定理の逆より,3直線$\mathrm{AP}$,$\mathrm{BR}$,$\mathrm{CQ}$は1点で交わる.$\blacksquare$(2)$\triangle \mathrm{ABD}$と直線$\mathrm{OQ}$について,メネラウスの定理より,$$\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}} \cdot \frac{\mathrm{DT}}{\mathrm{TA}} \cdot \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}}=1$$ここで,$\mathrm{AQ}=\mathrm{DS}$,$\mathrm{QB}=\mathrm{SC}$,$\mathrm{DT}=\mathrm{CR}$,$\mathrm{TA}=\mathrm{RB}$であるから,これらを代入すると,$$\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SC}}=1$$すなわち,$\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RB}}=1$よって,メネラウスの定理の逆より,3点$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$,$\mathrm{O}$は一直線上にある.$\blacksquare$
% 問題A3.1.9
$\triangle \mathrm{ABC}$において,次のことを示せ. (1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円が3辺$\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$に接する点をそれぞれ$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$とする.このとき,3直線$\mathrm{AP},\mathrm{BQ},\mathrm{CR}$は1点で交わる. (2)右の図のような$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の外角の二等分線が辺$\mathrm{BC}$の延長と交わるとき,その交点を$\mathrm{D}$とする.また,$\angle \mathrm{B},\angle \mathrm{C}$の二等分線と辺$\mathrm{AC},\mathrm{AB}$の交点をそれぞれ$\mathrm{E},\mathrm{F}$とする.このとき,3点$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$は一直線上にある.
% 解答A3.1.9
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円が$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$でそれぞれ3辺$\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$と接するから,$$\mathrm{AQ}=\mathrm{AR},\mathrm{BR}=\mathrm{BP}, \mathrm{CP}=\mathrm{CQ}$$したがって,$\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=a,\mathrm{BR}=\mathrm{BP}=b,\mathrm{CP}=\mathrm{CQ}=c$とおくと,$$\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}=1$$よって,チェバの定理の逆より,3直線$\mathrm{AP},\mathrm{BQ},\mathrm{CR}$は1点で交わる.$\blacksquare$(2)$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$はそれぞれ$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の二等分線であるから,$$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} \cdots (\mathrm{i}),\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdots (\mathrm{ii})$$$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{A}$の外角の二等分線であるから,$$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdots (\mathrm{iii})$$したがって,(i)〜(iii)の辺々を掛け合わせると,$$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}} \cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}} \cdot \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} \cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdots (\mathrm{iv})$$ゆえに,$$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}} \cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1$$すなわち,$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} \cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$よって,メネラウスの定理の逆より,3点$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$は一直線上にある.$\blacksquare$
