% 例題A3.2.10：長さが与えられた線分の作図 （One More）★★★
長さ$1,a,b$の線分が与えられたとき,長さ$\sqrt{\frac{b}{a}}$の線分を作図せよ.
% 解答（例題A3.2.10）
長さ1の線分ABをとる. [1]点Aを通り,直線ABと異なる直線$l$を引き,$l$上に$\mathrm{AC}=a$,$\mathrm{CD}=b$となるように点$\mathrm{C},\mathrm{D}$をとる. ただし,Cは線分AD上にとる. [2]点Dを通り,直線BCに平行な直線を引き,直線ABとの交点をEとする. [3]線分AEを直径とする半円をかく. [4]点Bを通り,直線ABに垂直な直線を引き,[3]の半円との交点をFとする.このとき,線分BFが求める線分である.$\mathrm{BE}=x,\mathrm{BF}=y$とすると,$\mathrm{BC} \parallel \mathrm{ED}$であるから,$a: b=1: x$より,$x=\frac{b}{a}$また,FBの延長と線分AEを直径とする円との交点をGとする. 方べきの定理より,$y^2=1 \cdot x$したがって,$y=\sqrt{x}=\sqrt{\frac{b}{a}}$よって,線分BFは長さ$\sqrt{\frac{b}{a}}$の線分である.
% 問題A3.2.10
長さ$1,a$の線分が与えられたとき,長さ$\sqrt{a}$の線分を作図せよ.
% 解答A3.2.10
直線上に,$\mathrm{AC}=a$,$\mathrm{CB}=1$となる3点$\mathrm{A},\mathrm{C},\mathrm{B}$をこの順にとる. [1]線分ABを直径とする円Oをかく. [2]点Cを通り,直線ABに垂直な直線を引き,[1]の円との交点をそれぞれD,Eとする.このとき,線分CDが求める線分である. 方べきの定理より,$\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CE}=\mathrm{CA} \cdot \mathrm{CB}$$\mathrm{CD}=\mathrm{CE}$であるから,$\mathrm{CD}^2=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{CB}=a$より,$\mathrm{CD}=\sqrt{a}$よって,線分CDは長さ$\sqrt{a}$の線分である.
