% 例題A3.2.6：トレミーの定理 （One More）★★★
円に内接する四角形ABCDにおいて,右の図のように対角線AC上に,点Eを$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDE}$となるようにとるとき,次のことを示せ. (1)$\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CE}$(2)$\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}$（トレミーの定理）
% 解答（例題A3.2.6）
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{ECD}$について,与えられた条件より,$$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EDC}$$弧ADに対する円周角は等しいから,$$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ECD}$$したがって,$\triangle \mathrm{ABD} \backsim \triangle \mathrm{ECD}$ゆえに,$\mathrm{AB}: \mathrm{EC}=\mathrm{BD}: \mathrm{CD}$よって,$\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CE} \cdots (\mathrm{i})\blacksquare$(2)$\triangle \mathrm{DAE}$と$\triangle \mathrm{DBC}$について,$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EDC}$であり,$\angle \mathrm{BDE}$は共通であるから,$$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{BDC}$$弧CDに対する円周角は等しいから,$$\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DBC}$$したがって,$\triangle \mathrm{DAE} \backsim \triangle \mathrm{DBC}$ゆえに,$\mathrm{AD}: \mathrm{BD}=\mathrm{AE}: \mathrm{BC}$したがって,$\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}=\mathrm{AE} \cdot \mathrm{BD} \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)の辺々を足し合わせると,$$\begin{aligned} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC} &=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CE}+\mathrm{AE} \cdot \mathrm{BD} \\ &=(\mathrm{AE}+\mathrm{CE}) \cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}\end{aligned}$$よって,$\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} \blacksquare$
% 問題A3.2.6
三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=8,\mathrm{BC}=7,\mathrm{CA}=6$とする.$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$,三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{E}$とする. このとき,$\mathrm{AD},\mathrm{DE}$の長さをトレミーの定理を用いて求めよ.
% 解答A3.2.6
$\mathrm{AD}=x$,$\mathrm{DE}=y$とする.$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{A}$の二等分線であるから,$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3$$$\mathrm{BC}=7$より,$\mathrm{BD}=4,\mathrm{DC}=3$四角形$\mathrm{ABEC}$において,方べきの定理より,$$\mathrm{AD} \cdot \mathrm{DE}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{DC}$$すなわち,$x y=12 \cdots (\mathrm{i})$$\triangle \mathrm{ACD} \backsim \triangle \mathrm{BED}$であるから,$\mathrm{AC}:\mathrm{BE}=\mathrm{CD}:\mathrm{ED}$より,$6 \cdot y=\mathrm{BE} \cdot 3$したがって,$\mathrm{BE}=2y$また,$\angle \mathrm{EBC}=\angle \mathrm{EAC},\angle \mathrm{ECB}=\angle \mathrm{EAB},\angle \mathrm{EAC}=\angle \mathrm{EAB}$より,$\triangle \mathrm{EBC}$は二等辺三角形であるから,$\mathrm{EC}=2y$ゆえに,四角形$\mathrm{ABEC}$において,トレミーの定理より,$$\mathrm{AB} \cdot \mathrm{EC}+\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BE}=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{AE}$$すなわち,$8 \cdot 2y+6 \cdot 2y=7 \cdot (x+y)$したがって,$x=3y$これを(i)に代入すると,$3y^2=12$$y>0$より,$y=2$このとき,$x=3 \cdot 2=6$よって,$\mathrm{AD}=6,\mathrm{DE}=2$
