% 例題A3.3.1：直線と平面の垂直 （One More）★★
正四面体ABCDについて,次のことを示せ. (1)辺ABの中点をMとするとき,辺ABは平面CDMに垂直である. (2)辺$\mathrm{BC},\mathrm{AC},\mathrm{AD},\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S}$とするとき,四角形PQRSは正方形である.
% 解答（例題A3.3.1）
(1)$\mathrm{CM},\mathrm{DM}$はそれぞれ,正三角形である$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ABD}$の中線であるから,$$\mathrm{CM} \perp \mathrm{AB},\mathrm{DM} \perp \mathrm{AB}$$よって,辺$\mathrm{AB}$は平面$\mathrm{CDM}$に垂直である.$\blacksquare$(2)正四面体の各面の正三角形において,中点連結定理より,$$\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{SP}$$また,$\mathrm{AB} \parallel \mathrm{PQ},\mathrm{AB} \parallel \mathrm{RS}$であるから,$$\mathrm{PQ} \parallel \mathrm{RS}$$したがって,4点$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S}$は同一平面上にある. さらに,$\mathrm{CD} \parallel \mathrm{QR}$であり,(1)より,$\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$ゆえに,$\mathrm{PQ} \perp \mathrm{QR}$,すなわち,$\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$よって,各辺の長さが等しく,1つの内角が$90^{\circ}$であるから,四角形$\mathrm{PQRS}$は正方形である.$\blacksquare$
% 問題A3.3.1
四面体$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD},\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$であるとする.このとき,$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき,点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{BCD}$の垂心であることを示せ.
% 解答A3.3.1
$\mathrm{AH} \perp$平面$\mathrm{BCD}$より,$\mathrm{AH} \perp \mathrm{CD}$また,$\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$より,$\mathrm{CD}$は平面$\mathrm{ABH}$上の交わる2直線$\mathrm{AB},\mathrm{AH}$に垂直であるから,$$\mathrm{CD} \perp \text{平面} \mathrm{ABH}$$$\mathrm{BH}$は平面$\mathrm{ABH}$上にあるから,$\mathrm{BH} \perp \mathrm{CD} \cdots (\mathrm{i})$$\mathrm{CD} \perp$平面$\mathrm{ABH}$と同様に考えると,$\mathrm{BD} \perp \text{平面 } \mathrm{ACH}$したがって,$\mathrm{CH} \perp \mathrm{BD} \cdots (\mathrm{ii})$よって,点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{BCD}$の垂心である.$\blacksquare$
