【数学I】例題1.1.16：因数分解（ax^4+bx^2+cの形）（One More）★★★

% 例題I1.1.16：因数分解（$ax^4+bx^2+c$の形） （One More）★★★
次の式を因数分解せよ. (1)$x^4-7x^2+12$(2)$x^4+2x^2+9$(3)$x^4-15x^2y^2+9y^4$(4)$4x^4+1$

% 解答（例題I1.1.16）
(1)$x^4-7x^2+12=(x^2-4)(x^2-3)=(x+2)(x-2)(x^2-3)$(2)$\begin{aligned} x^4+2x^2+9&=(x^4+6x^2+9)-4x^2\\ &=(x^2+3)^2-(2x)^2\\ &=\{(x^2+3)+2x\}\{(x^2+3)-2x\}\\ &=(x^2+2x+3)(x^2-2x+3) \end{aligned}$(3)$\begin{aligned} x^4-15x^2y^2+9y^4&=(x^4-6x^2y^2+9y^4)-9x^2y^2\\ &=(x^2-3y^2)^2-9x^2y^2\\ &=\{(x^2-3y^2)+3xy\}\{(x^2-3y^2)-3xy\}\\ &=(x^2+3xy-3y^2)(x^2-3xy-3y^2) \end{aligned}$(4)$\begin{aligned} 4x^4+1&=(4x^4+4x^2+1)-4x^2\\ &=(2x^2+1)^2-(2x)^2\\ &=\{(2x^2+1)+2x\}\{(2x^2+1)-2x\}\\ &=(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1) \end{aligned}$

% 問題I1.1.16
次の式を因数分解せよ. (1)$x^4-11x^2+18$(2)$x^4+4x^2+16$(3)$x^4-8x^2y^2+4y^4$

% 解答I1.1.16
(1)$x^4-11x^2+18=(x^2-9)(x^2-2)=(x+3)(x-3)(x^2-2)$(2)$\begin{aligned} x^4+4x^2+16&=(x^4+8x^2+16)-4x^2\\ &={(x^2+4)^2}-(2x)^2\\ &=\{(x^2+4)+2x\}\{(x^2+4)-2x\}\\ &=(x^2+2x+4)(x^2-2x+4) \end{aligned}$(3)$\begin{aligned} x^4-8x^2y^2+4y^4&=(x^4-4x^2y^2+4y^4)-4x^2y^2\\ &={(x^2-2y^2)^2}-4x^2y^2\\ &=\{(x^2-2y^2)+2xy\}\{(x^2-2y^2)-2xy\}\\ &=(x^2+2xy-2y^2)(x^2-2xy-2y^2) \end{aligned}$