【数学I】例題4.2.6：三角形の成立条件（One More）★★★

% 例題I4.2.6：三角形の成立条件 （One More）★★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=x,\mathrm{AC}=x+1,\mathrm{BC}=x+2$のとき,次の問いに答えよ. (1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ. (2)$\triangle \mathrm{ABC}$が鈍角三角形となる$x$の値の範囲を求めよ.

% 解答（例題I4.2.6）
(1)$x<x+1<x+2$であるから,三角形が成立する条件より,$x+2<x+(x+1)$よって,$x$のとり得る値の範囲は,$x>1 \cdots (\mathrm{i})$(2)辺$\mathrm{BC}$が最大の辺であるから,鈍角三角形となる条件は$A>90^{\circ}$,すなわち,$\cos A<0$である. 余弦定理より,$\cos A=\frac{x^2+(x+1)^2-(x+2)^2}{2x(x+1)}<0$したがって,$x^2+(x+1)^2-(x+2)^2<0$整理すると,$x^2-2x-3<0$ゆえに,$(x-3)(x+1)<0$これを解くと,$-1<x<3 \cdots (\mathrm{ii})$よって,(i),(ii)より,求める$x$の値の範囲は,$1<x<3$

% 問題I4.2.6
3辺の長さが$2,3,x$である三角形について,次の問いに答えよ. (1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ. (2)この三角形が鈍角三角形となるような$x$の値の範囲を求めよ.

% 解答I4.2.6
(1)三角形が成立する条件より,$|3-2|<x<3+2$よって,$x$のとり得る値の範囲は,$1<x<5 \cdots (\mathrm{i})$(2) (ア)$1<x<3$のとき 最大の辺の長さは3であるから,その対角が$90^\circ$より大きいとき,鈍角三角形となる. したがって,$3^2>2^2+x^2$整理すると,$x^2-5<0$ゆえに,$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})<0$これを解くと,$-\sqrt{5}<x<\sqrt{5} \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)の共通範囲を求めると,${1<x<\sqrt{5}}$(イ)$3 \leqq x<5$のとき 最大の辺の長さは$x$であるから,その対角が$90^\circ$より大きいとき,鈍角三角形となる. したがって,$x^2>2^2+3^2$整理すると,$x^2-13>0$ゆえに,$(x+\sqrt{13})(x-\sqrt{13})>0$これを解くと,$x<-\sqrt{13},\sqrt{13}