【数学I】例題4.3.1：三角形の面積（One More）★★

% 例題I4.3.1：三角形の面積 （One More）★★
次のような$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ. (1)$a=4,c=\sqrt{6},B=60^{\circ}$(2)$a=7,b=6,c=5$

% 解答（例題I4.3.1）
(1)求める$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は,$$S=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$(2) 余弦定理より,$\cos A=\frac{6^2+5^2-7^2}{2 \cdot 6 \cdot 5}=\frac{1}{5}$$\sin ^2 A+\cos ^2 A=1,\sin A>0$より,$$\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$よって,求める$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は,$$S=\frac{1}{2} bc \sin A=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}$$別解：ヘロンの公式より,$s=\frac{7+6+5}{2}=9$であるから,$$\begin{aligned} S &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ &=\sqrt{9(9-7)(9-6)(9-5)}\\ &=\sqrt{9 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\\ &=\sqrt{216}=6\sqrt{6} \end{aligned}$$よって,求める面積$S$は,$S=6\sqrt{6}$

% 問題I4.3.1
次のような$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ. (1)$a=5,c=\sqrt{10},B=45^{\circ}$(2)$a=7,b=5,c=8$

% 解答I4.3.1
(1)求める$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は,$$S=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 5 \cdot \sin 45^{\circ}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{20}}{4}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$$(2)余弦定理より,$\cos A=\frac{5^2+8^2-7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$\sin^2 A+\cos^2 A=1,\sin A>0$より,$$\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$よって,求める$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は,$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$$別解：ヘロンの公式より,$s=\frac{7+5+8}{2}=10$であるから,$$\begin{aligned} S &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ &=\sqrt{10(10-7)(10-5)(10-8)}\\ &=\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}\\ &=\sqrt{300}=10\sqrt{3} \end{aligned}$$よって,求める面積$S$は,$S=10\sqrt{3}$