問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題I4.3.10：正四面体の計量（One More）★★★★
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1辺の長さが$a$の正四面体OABCにおいて，辺BCの中点をMとし，$\angle\mathrm{OMA}=\theta$とする．また，頂点Oから平面ABCに垂線OHを下ろす．このとき，次の値を求めよ．
(1) $\cos\theta$
(2) 正四面体の体積$V$
(3) 正四面体の内接球の半径$r$
(4) 正四面体の外接球の半径$R$
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% 例題I4.3.10の解答（One More）★★★★
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(1) $\triangle\mathrm{OBC}$，$\triangle\mathrm{ABC}$は1辺の長さ$a$の正三角形であるから，$\mathrm{OM}=\mathrm{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
$\triangle\mathrm{OAM}$において，余弦定理より，
\[
\cos\theta=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2-a^2}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{3}
\]
(2)
\[
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}
\]
$\triangle\mathrm{OMH}$において，$\mathrm{OH}=\mathrm{OM}\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$
$\triangle\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると，$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\sin 60^{\circ}=\frac{1}{2}a^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
よって，$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot\mathrm{OH}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
(3) 内接球の中心をIとすると，
\begin{align*}
V=&\text{(三角錐IOAB)}+\text{(三角錐IOAC)}+\text{(三角錐IOBC)}+\text{(三角錐IABC)}\\
=&\frac{1}{3}\triangle\mathrm{OAB}\cdot r+\frac{1}{3}\triangle\mathrm{OAC}\cdot r+\frac{1}{3}\triangle\mathrm{OBC}\cdot r+\frac{1}{3}\triangle\mathrm{ABC}\cdot r\\
=&\frac{1}{3}(\triangle\mathrm{OAB}+\triangle\mathrm{OAC}+\triangle\mathrm{OBC}+\triangle\mathrm{ABC})r=\frac{1}{3}\cdot 4Sr
\end{align*}
よって，(1)，(2)より，$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot r$であるから，$r=\frac{\sqrt{6}}{12}a$
(4) 図形の対称性より，内接球の中心と外接球の中心は一致する．
また，内接球の中心IはOH上にあるから，$\mathrm{OH}=\frac{\sqrt{6}}{3}a,\mathrm{IH}=r=\frac{\sqrt{6}}{12}a$
したがって，$\mathrm{IH}=\frac{1}{4}\mathrm{OH}$となり，IはOHを$3:1$に内分する点になる．
よって，$R=\mathrm{IO}=\frac{3}{4}\mathrm{OH}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{6}}{4}a$
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% 問題I4.3.10：正四面体の計量（One More）★★★★
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四面体ABCDにおいて，$\triangle\mathrm{BCD}$は1辺の長さが4の正三角形であり，$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{ADC}=90^{\circ},\mathrm{AD}=2$である．このとき，頂点Dから平面ABCに下ろした垂線DHの長さを求めよ．
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% 問題I4.3.10の解答（One More）★★★★
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四面体ABCDの体積を$V$とする．$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{ADC}=90^{\circ}$であるから，
\[
\mathrm{AD}\perp\text{面BCD}
\]
したがって，
\[
V=\frac{1}{3}\triangle\mathrm{BCD}\cdot\mathrm{AD}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{3}\times 2=\frac{8\sqrt{3}}{3}\cdots(\mathrm{i})
\]
また，Aから辺BCに下ろした垂線の足をTとすると，$\triangle\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\sqrt{5},\mathrm{BC}=4$であるから，
\[
\mathrm{AT}=\sqrt{\mathrm{AB}^2-\mathrm{BT}^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=4
\]
ゆえに，$V=\frac{1}{3}\triangle\mathrm{ABC}\cdot\mathrm{DH}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\times\mathrm{DH}=\frac{8}{3}\mathrm{DH}\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)より，$\frac{8}{3}\mathrm{DH}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
よって，$\mathrm{DH}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{3}{8}=\sqrt{3}$
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