【数学I】例題4.3.4：円に内接する四角形1（One More）★★

% 例題I4.3.4：円に内接する四角形1 （One More）★★
円に内接する四角形ABCDにおいて,$\mathrm{AB}=4,\mathrm{BC}=3,\mathrm{CD}=1,\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)対角線ACの長さ (2)ADの長さ (3)四角形ABCDの面積

% 解答（例題I4.3.4）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において,余弦定理より,$\mathrm{AC}^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^{\circ}=13$よって,$\mathrm{AC}>0$より,$\mathrm{AC}=\sqrt{13}$(2)四角形ABCDは円に内接するから,$$D=180^{\circ}-B =180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$$したがって,$\triangle \mathrm{ACD}$において,余弦定理より,$$(\sqrt{13})^2=1^2+\mathrm{AD}^2-2 \cdot 1 \cdot \mathrm{AD} \cdot \cos 120^{\circ}$$整理すると,$\mathrm{AD}^2+\mathrm{AD}-12=0$より,$(\mathrm{AD}+4)(\mathrm{AD}-3)=0$よって,$\mathrm{AD}>0$より,$\mathrm{AD}=3$(3)四角形ABCDの面積を$S$とすると,$$\begin{aligned} S &=\triangle \mathrm{ABC}+\triangle \mathrm{ACD} \\ &=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 60^{\circ}+\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin 120^{\circ} \\ &=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$$

% 問題I4.3.4
円に内接する四角形ABCDにおいて,$\mathrm{AB}=8,\mathrm{BC}=4,\mathrm{CD}=4,\angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)対角線BDの長さ (2)ADの長さ (3)四角形ABCDの面積

% 解答I4.3.4
(1)$\triangle \mathrm{BCD}$において,余弦定理より,$\mathrm{BD}^2=4^2+4^2-2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^{\circ}=48$よって,$\mathrm{BD}>0$より,$\mathrm{BD}=4\sqrt{3}$(2)四角形ABCDは円に内接するから,$$\angle \mathrm{BAD}=180^\circ-\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$$したがって,$\triangle \mathrm{ABD}$において,余弦定理より,$$(4\sqrt{3})^2=\mathrm{AD}^2+8^2-2 \cdot \mathrm{AD} \cdot 8 \cos 60^{\circ}$$整理すると,$\mathrm{AD}^2-8\mathrm{AD}+16=0$より,$(\mathrm{AD}-4)^2=0$よって,$\mathrm{AD}>0$より,$\mathrm{AD}=4$(3)四角形ABCDの面積を$S$とすると,$$\begin{aligned} S &=\triangle \mathrm{ABD}+\triangle \mathrm{BCD} \\ &=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin 60^{\circ}+\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 120^{\circ} \\ &=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\end{aligned}$$