【数学I】例題4.3.5：円に内接する四角形2（One More）★★★

% 例題I4.3.5：円に内接する四角形2 （One More）★★★
円に内接する四角形ABCDにおいて,$\mathrm{AB}=2,\mathrm{BC}=4,\mathrm{CD}=3,\mathrm{DA}=2$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)$\cos B$(2)四角形ABCDの面積$S$

% 解答（例題I4.3.5）
(1)四角形ABCDは円に内接するから,$$D=180^{\circ}-B$$$\triangle \mathrm{ABC}$において,余弦定理より,$$\begin{aligned} \mathrm{AC^2} &=2^2+4^2-2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos B \\ &=20-16 \cos B \cdots (\mathrm{i}) \end{aligned}$$$\triangle \mathrm{ACD}$において,余弦定理より,$$\mathrm{AC^2}=3^2+2^2-2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos \left(180^{\circ}-B\right) =13+12 \cos B \cdots (\mathrm{ii})$$(i),(ii)より,$20-16 \cos B=13+12 \cos B$よって,$\cos B=\frac{1}{4}$(2)$\sin B>0$より,$$\sin B=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{16-1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$また,$\sin D=\sin \left(180^{\circ}-B\right)=\sin B=\frac{\sqrt{15}}{4}$よって,求める四角形ABCDの面積$S$は,$$\begin{aligned} S &=\triangle \mathrm{ABC}+\triangle \mathrm{ACD} \\ &=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin B+\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin D \\ &=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{7\sqrt{15}}{4} \end{aligned}$$

% 問題I4.3.5
円に内接する四角形ABCDにおいて,$\mathrm{AB}=3,\mathrm{BC}=\sqrt{2},\mathrm{CD}=\sqrt{2},\mathrm{DA}=1$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)$\cos B$(2)四角形ABCDの面積$S$

% 解答I4.3.5
(1)四角形ABCDは円に内接するから,$$D=180^{\circ}-B$$$\triangle \mathrm{ABC}$において,余弦定理より,$$\begin{aligned} {\mathrm{AC}^2} &=3^2+(\sqrt{2})^2-2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos B \\ &=11-6\sqrt{2} \cos B \cdots (\mathrm{i}) \end{aligned}$$$\triangle \mathrm{ACD}$において,余弦定理より,$${\mathrm{AC}^2}=(\sqrt{2})^2+1^2-2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos \left(180^{\circ}-B\right) =3+2\sqrt{2} \cos B \cdots (\mathrm{ii})$$(i),(ii)より,$11-6\sqrt{2} \cos B=3+2\sqrt{2} \cos B$よって,$\cos B=\frac{1}{\sqrt{2}}$(2)$\sin B>0$より,$$\sin B=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\frac{2-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$また,$\sin D=\sin \left(180^{\circ}-B\right)=\sin B=\frac{1}{\sqrt{2}}$よって,求める四角形ABCDの面積$S$は,$$\begin{aligned} S &=\triangle \mathrm{ABC}+\triangle \mathrm{ACD} \\ &=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin B+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sin D \\ &=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=2\\ \end{aligned}$$