【数学I】例題4.3.9：円錐に内接する球（One More）★★★

% 例題I4.3.9：円錐に内接する球 （One More）★★★
右の図のように,底面の半径$3$,高さが4の直円錐があり,球Oと側面,底面の中心Mで接している.このとき,次の問いに答えよ. (1)円錐の母線の長さを求めよ. (2)球Oの半径を求めよ. (3)球Oの体積$V$と表面積$S$を求めよ.

% 解答（例題I4.3.9）
AとMを通る平面で円錐を切った切断面は,右の図のようになる. (1)求める母線の長さは,$$\sqrt{\mathrm{BM}^2+\mathrm{AM}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$$(2)球Oの半径を$r,\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S^\prime$とすると,$$S^\prime=\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}) =\frac{1}{2}r(6+2 \cdot 5) =8r$$$S^\prime=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4=12$であるから,$8r=12$よって,$r=\frac{3}{2}$(3)(2)より,$V=\frac{4}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{9}{2}\pi,S=4 \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2=9\pi$

% 問題I4.3.9
右の図のように,底面の半径$5$,高さが$12$の直円錐があり,球Oと側面,底面の中心Mで接している.このとき,次の問いに答えよ. (1)円錐の母線の長さを求めよ. (2)球Oの半径を求めよ. (3)球Oの体積$V$と表面積$S$を求めよ.

% 解答I4.3.9
AとMを通る平面で円錐を切った切断面は,右の図のようになる. (1)求める母線の長さは,$\sqrt{\mathrm{BM}^2+\mathrm{AM}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$(2)球Oの半径を$r,\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S^\prime$とすると,$$S^\prime=\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}) =\frac{1}{2}r(10+2 \cdot 13) =18r$$$S^\prime=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12=60$であるから,$18r=60$よって,$r=\frac{10}{3}$(3)(2)より,$V=\frac{4}{3} \pi \left(\frac{10}{3}\right)^3=\frac{4000}{81}\pi,S=4 \pi \left(\frac{10}{3}\right)^2=\frac{400}{9}\pi$