問題の解答
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% 例題A3.1.7：三角形の面積比 （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,線分$\mathrm{AB}$を$2: 1$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分BCの中点をE,線分$\mathrm{CA}$を$1: 3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の面積比を求めよ.
% 解答（例題A3.1.7）
$\triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC}-(\triangle \mathrm{ADF}+\triangle \mathrm{BED}+\triangle \mathrm{CFE}) \cdots (\mathrm{i})$また,$\triangle \mathrm{ADF}: \triangle \mathrm{ABC}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AF} : \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}$より,$$\triangle \mathrm{ADF}=\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \triangle \mathrm{ABC}$$同様に,$$\triangle \mathrm{BED}=\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{6} \triangle \mathrm{ABC}, \triangle \mathrm{CFE}=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{8} \triangle \mathrm{ABC}$$したがって,これらを(i)に代入すると,$$\triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\right)\triangle \mathrm{ABC} =\frac{5}{24} \triangle \mathrm{ABC}$$よって,$$\triangle \mathrm{ABC} : \triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC} :\frac{5}{24} \triangle \mathrm{ABC}=24 : 5$$
% 問題A3.1.7
$\triangle \mathrm{ABC}$において,線分$\mathrm{AB}$を$4: 1$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分BCを$3: 1$に内分する点を$\mathrm{E}$,線分$\mathrm{CA}$を$1: 3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の面積比を求めよ.
% 解答A3.1.7
$\triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC}-(\triangle \mathrm{ADF}+\triangle \mathrm{BED}+\triangle \mathrm{CFE}) \cdots (\mathrm{i})$また,$\triangle \mathrm{ADF}: \triangle \mathrm{ABC}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AF} : \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}$より,$$\triangle \mathrm{ADF}=\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 4} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{3}{5} \triangle \mathrm{ABC}$$同様に,$$\triangle \mathrm{BED}=\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{3}{20} \triangle \mathrm{ABC}, \triangle \mathrm{CFE}=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{16} \triangle \mathrm{ABC}$$したがって,これらを(i)に代入すると,$$\triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC}-\left(\frac{3}{5}+\frac{3}{20}+\frac{1}{16}\right)\triangle \mathrm{ABC} =\frac{3}{16} \triangle \mathrm{ABC}$$よって,$$\triangle \mathrm{ABC} : \triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC} :\frac{3}{16} \triangle \mathrm{ABC}=16 : 3$$
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