問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A4.1.2：自然数となる条件（One More）★★
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(1) $n$を自然数とする．$\sqrt{\frac{360}{n}}$が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(2) $\frac{n}{4},\frac{n^2}{36},\frac{n^3}{540}$がすべて自然数となるような最小の自然数$n$を求めよ．
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% 例題A4.1.2の解答（One More）★★
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(1) $\sqrt{\frac{360}{n}}$が自然数となるのは，$\frac{360}{n}$がある自然数の2乗になるとき，つまり，$\frac{360}{n}$を素因数分解したときの素因数の指数がすべて偶数となるときである．
360を素因数分解すると，$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$
したがって，求める自然数$n$は，$n=2\cdot 5,2^3\cdot 5,2\cdot 3^2\cdot 5,2^3\cdot 3^2\cdot 5$
よって，$n=10,40,90,360$
(2) $\frac{n}{4}$が自然数となるのは，$n$が4の倍数のときである．
したがって，$n=4k$（$k$は自然数）とおくと，$n=2^2\cdot k$
このとき，
\[
\frac{n^2}{36}=\frac{(2^2\cdot k)^2}{2^2\cdot 3^2}=\frac{2^2\cdot k^2}{3^2}
\]
これが自然数となるのは，$k$が3の倍数のときである．
ゆえに，$k=3l$（$l$は自然数）とおくと，$n=2^2\cdot 3\cdot l$
このとき，
\[
\frac{n^3}{540}=\frac{(2^2\cdot 3\cdot l)^3}{2^2\cdot 3^3\cdot 5}=\frac{2^4\cdot l^3}{5}
\]
これが自然数となるのは，$l$が5の倍数のときである．
したがって，$l=5m$（$m$は自然数）とおくと，
\[
n=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot m
\]
よって，これが自然数となるもので最小のものは，$m=1$のときであるから，
\[
n=2^2\cdot 3\cdot 5=60
\]
\[
\begin{array}{rrr}
2&)&360\\\cline{2-3}
2&)&180\\\cline{2-3}
2&)&90\\\cline{2-3}
3&)&45\\\cline{2-3}
3&)&15\\\cline{2-3}
&&5\\
\end{array}
\]
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% 問題A4.1.2：自然数となる条件（One More）★★
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(1) $n$を自然数とする．$\sqrt{27000n}$が自然数となるような最小の$n$を求めよ．
(2) $\frac{n}{6},\frac{n^2}{196},\frac{n^3}{1323}$がすべて自然数となるような最小の自然数$n$を求めよ．
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% 問題A4.1.2の解答（One More）★★
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(1) $\sqrt{27000n}$が自然数となるのは，$27000n$がある自然数の2乗になるとき，つまり，$27000n$を素因数分解したときの素因数の指数がすべて偶数となるときである．
27000を素因数分解すると，$27000=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3$
したがって，求める自然数$n$は，$n=2\cdot 3\cdot 5$
よって，$n=2\cdot 3\cdot 5=30$
(2) $\frac{n}{6}$が自然数となるのは，$n$が6の倍数のときである．
したがって，$n=6k$（$k$は自然数）とおくと，$n=2\cdot 3\cdot k$
このとき，
\[
\frac{n^2}{196}=\frac{(2\cdot 3\cdot k)^2}{2^2\cdot 7^2}=\frac{3^2\cdot k^2}{7^2}
\]
これが自然数となるのは，$k$が7の倍数のときである．
ゆえに，$k=7l$（$l$は自然数）とおくと，$n=2\cdot 3\cdot 7\cdot l\cdots(\mathrm{i})$
このとき，
\[
\frac{n^3}{1323}=\frac{(2\cdot 3\cdot 7\cdot l)^3}{3^3\cdot 7^2}={2^3\cdot 7\cdot l^3}
\]
よって，これが自然数となるもので最小のものは，$l=1$のときであるから，(i)に代入すると，
\[
n=2\cdot 3\cdot 7\cdot 1=42
\]
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