【数学A】例題4.1.3：約数の個数と自然数（One More）★★

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% 例題A4.1.3：約数の個数と自然数（One More）★★
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(1) 240の正の約数の個数と，正の約数の総和を求めよ．

(2) 45の倍数のうち，正の約数の個数が15個である自然数$n$をすべて求めよ．

(3) 100以下の自然数のうち，正の約数が6個である自然数の個数を求めよ．

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% 例題A4.1.3の解答（One More）★★
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(1) $240=2^4\cdot 3\cdot 5$であるから，正の約数の個数は，

\[
(4+1)(1+1)(1+1)=5\cdot 2\cdot 2=20(\text{個})
\]

また，正の約数の総和は，

\[
(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3)(1+5)=31\cdot 4\cdot 6=744
\]

(2) 15を素因数分解すると，$15=3\cdot 5$

したがって，正の約数の個数が15個である自然数$n$を素因数分解すると，$p^{14},p^2q^4(p,q$は異なる素数)のいずれかの形で表される．

$n$は45の倍数であり，$45=3^2\cdot 5$であるから，$n$は$p^2q^4$の形で表される．

ゆえに，求める自然数$n$は，$n=5^2\cdot 3^4,3^2\cdot 5^4$

よって，$n=2025,5625$

(3) 6を素因数分解すると，$6=2\cdot 3$

したがって，正の約数の個数が6個である自然数$n$を素因数分解すると，$p^{5},p^2q$（$p,q$は異なる素数）のいずれかの形で表される．

(i) 自然数$n$が$p^5$の形で表されるとき

$2^5=32$が条件を満たすから，1個

(ii) 自然数$n$が$p^2q$の形で表されるとき

\begin{align*}
&2^2\cdot 3,2^2\cdot 5,2^2\cdot 7,2^2\cdot 11,2^2\cdot 13,2^2\cdot 17,2^2\cdot 19,2^2\cdot 23,\\
&3^2\cdot 2,3^2\cdot 5,3^2\cdot 7,3^2\cdot 11,5^2\cdot 2,5^2\cdot 3,7^2\cdot 2
\end{align*}

が条件を満たすから，15個

よって，(i)，(ii)より，$1+15=16(\text{個})$

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% 問題A4.1.3：約数の個数と自然数（One More）★★
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(1) 360の正の約数の個数と，正の約数の総和を求めよ．

(2) 18の倍数のうち，正の約数の個数が9個である自然数$n$をすべて求めよ．

(3) 400以下の自然数のうち，正の約数が15個である自然数の個数を求めよ．

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% 問題A4.1.3の解答（One More）★★
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(1) $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$であるから，正の約数の個数は，

\[
(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24(\text{個})
\]

また，正の約数の総和は，

\[
(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5)=15\cdot 13\cdot 6=1170
\]

(2) 9を素因数分解すると，$9=3^2$

したがって，正の約数の個数が9個である自然数$n$を素因数分解すると，$p^8,p^2q^2(p,q$は異なる素数)のいずれかの形で表される．

$n$は18の倍数であり，$18=2\cdot 3^2$であるから，$n$は$p^2q^2$の形で表される．

ゆえに，求める自然数$n$は，$n=2^2\cdot 3^2$

よって，$n=36$

(3) 15を素因数分解すると，$15=3\cdot 5$

したがって，正の約数の個数が15個である自然数$n$を素因数分解すると，$p^{14},p^4q^2(p,q$は異なる素数)のいずれかの形で表される．

(i) 自然数$n$が$p^{14}$の形で表されるとき

$2^{14}$は$400$以下ではないので，該当する自然数はない．

(ii) 自然数$n$が$p^4q^2$の形で表されるとき

\[
2^4\cdot 3^2,2^4\cdot 5^2,3^4\cdot 2^2
\]

が条件を満たすから，3個

よって，(i)，(ii)より，$3{個}$

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% 例題A4.1.3の側注：約数の個数と自然数（One More）★★
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% 側注1
$3^5$は$3^5=243$であるから，条件を満たさない．

% 側注2
$15=15\cdot 1=3\cdot 5$より，$p^{15-1}q^{1-1}$または$p^{3-1}q^{5-1}$

% 側注3
$p^{14}$の場合は起こらない．

% 側注4
$p^5$の正の約数の個数は，$(5+1)=6(\text{個})$であり，$p^2q$の正の約数の個数は，$(2+1)(1+1)=6(\text{個})$である．

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% 問題A4.1.3の側注：約数の個数と自然数（One More）★★
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% 側注1
$2^{14}$は$2^{14}=16384$であるから，条件を満たさない．

% 側注2
$9=3^2=3\cdot 3$より，$p^{9-1}q^{1-1}$または$p^{3-1}q^{3-1}$

% 側注3
$p^8$の場合は起こらない．

% 側注4
$p^{14}$の正の約数の個数は，$14+1=15(\text{個})$であり，$p^4q^2$の正の約数の個数は，$(4+1)(2+1)=15(\text{個})$である．

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% 例題A4.1.3の考え方・補足など：約数の個数と自然数（One More）★★
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% 考え方
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約数の個数，総和は次のようになることを利用する．

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% 正の約数の個数と総和
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自然数$N$が$N=p^aq^br^c\cdots$と素因数分解されているとき，

$N$の約数の個数は，${(a+1)(b+1)(c+1)\cdots(\text{個})}$

$N$の約数の総和は，${(1+p+p^2+\cdots+p^a)(1+q+q^2+\cdots+q^b)(1+r+r^2+\cdots+r^c)\cdots}$