% 例題A4.1.10：整数の除法と余り （One More）★
$a,b$を整数とする.$a$を5で割ると2余り,$b$を5で割ると3余る.このとき,次の数を5で割った余りを求めよ. (1)$a-3b$(2)$ab$(3)$a^4$
% 解答（例題A4.1.10）
$a=5k+2,b=5l+3(k,l$は整数)と表される. (1)$$\begin{aligned} a-3b &=5k+2-3(5l+3)\\ &=5k+2-15l-9 \\ &=5(k-3l-2)+3 \end{aligned}$$よって,求める余りは,3 (2)$$\begin{aligned} ab &=(5k+2)(5l+3)\\ &=25kl+15k+10l+6 \\ &=5(5kl+3k+2l+1)+1 \end{aligned}$$よって,求める余りは,1 (3)$$a^2=(5k+2)^2=25k^2+20k+4=5(5k^2+4k)+4$$したがって,$a^2=5m+4(m\text{ は整数})$と表されるから,$$a^4=(a^2)^2=(5m+4)^2=25m^2+40m+16=5(5m^2+8m+3)+1$$よって,求める余りは,1
% 問題A4.1.10
$a,b$を整数とする.$a$を7で割ると4余り,$b$を7で割ると5余る.このとき,次の数を7で割った余りを求めよ. (1)$a+2b$(2)$ab$(3)$a^4$
% 解答A4.1.10
$a=7k+4,b=7l+5(k,l$は整数)と表される. (1)$$\begin{aligned} a+2b &=7k+4+2(7l+5)\\ &=7k+4+14l+10 \\ &=7(k+2l+2) \end{aligned}$$よって,求める余りは,0 (2)$$\begin{aligned} ab &=(7k+4)(7l+5)\\ &=49kl+35k+28l+20 \\ &=7(7kl+5k+4l+2)+6 \end{aligned}$$よって,求める余りは,6 (3)$$a^2=(7k+4)^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k+2)+2$$したがって,$a^2=7m+2(m\text{ は整数})$と表されるから,$$a^4=(a^2)^2=(7m+2)^2=49m^2+28m+4=7(7m^2+4m)+4$$よって,求める余りは,4
