【数学A】例題4.1.12：余りによる場合分け2（One More）★★★

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% 例題A4.1.12：余りによる場合分け2（One More）★★★
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(1) $n$を整数とする．このとき，$n^2$を4で割った余りが0または1であることを証明せよ．

(2) $a,b,c$を整数とする．$a^2+b^2=c^2$のとき，$a,b$の少なくとも一方は偶数であることを証明せよ．

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% 例題A4.1.12の解答（One More）★★★
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(1) すべての整数$n$は，$n=2k,n=2k+1$($k$は整数)のいずれかの形で表される．

(i) $n=2k$のとき

\[
n^2=(2k)^2=4k^2
\]

となるから，$n^2$を4で割った余りは0である．

(ii) $n=2k+1$のとき

\[
n^2=(2k+1)^2=4(k^2+k)+1
\]

となるから，$n^2$を4で割った余りは1である．

よって，(i)，(ii)より，$n^2$を4で割った余りは，0または1である．$\blacksquare$

(2) $a$と$b$がともに奇数であると仮定すると，(ii)より，$a^2$と$b^2$を4で割った余りはそれぞれ1である．

したがって，$a^2+b^2$を4で割った余りは2である．

一方，(1)より，$c^2$を4で割った余りは0または1であり，$a^2+b^2=c^2$の両辺を4で割った余りと一致しないので，矛盾する．

よって，$a,b$の少なくとも一方は偶数である．$\blacksquare$

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% 問題A4.1.12：余りによる場合分け2（One More）★★★
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(1) $n$を整数とする．このとき，$n^2$を3で割った余りが0または1であることを証明せよ．

(2) $a,b,c$を整数とする．$a^2+b^2=c^2$のとき，$a,b$の少なくとも一方は3の倍数であることを証明せよ．

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% 問題A4.1.12の解答（One More）★★★
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(1) すべての整数$n$は，$n=3k,n=3k+1,n=3k+2$($k$は整数)のいずれかの形で表される．

(i) $n=3k$のとき

\[
n^2=(3k)^2=9k^2=3(3k^2)
\]

となるから，$n^2$を3で割った余りは0である．

(ii) $n=3k+1$のとき

\[
n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1
\]

となるから，$n^2$を3で割った余りは1である．

(iii) $n=3k+2$のとき

\[
n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1
\]

となるから，$n^2$を3で割った余りは1である．よって，(i)〜(iii)より，$n^2$を3で割った余りは，0または1である．$\blacksquare$

(2) $a$と$b$がともに3の倍数ではないと仮定すると，(1)より，$a^2$と$b^2$を3で割った余りはそれぞれ1である．

したがって，$a^2+b^2$を3で割った余りは$2$である．

一方，(1)より，$c^2$を3で割った余りは0または1であり，$a^2+b^2=c^2$の両辺を3で割った余りが一致しないので，矛盾する．

よって，$a,b$の少なくとも一方は3の倍数である．$\blacksquare$

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% 例題A4.1.12の側注：余りによる場合分け2（One More）★★★
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% 側注1
$n=2k,2k+1$のときに分けるとよい．

% 側注2
背理法を用いる．

% 側注3
$m,n$を整数とすると，$a^2=4m+1,b^2=4n+1$より，

\[
a^2+b^2=4(m+n)+2
\]

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% 問題A4.1.12の側注：余りによる場合分け2（One More）★★★
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% 側注1
背理法を用いる．

% 側注2
$m,n$を整数とすると，$a^2=3m+1,b^2=3n+1$より，

\[
a^2+b^2=3(m+n)+{2}
\]

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% 例題A4.1.12の考え方・補足など：余りによる場合分け2（One More）★★★
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% 考え方
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(1) $4$で割った余りで分類して考えてもよいが，場合分けに手間が掛かる．そこで，$n=2k,2k+1(k$は整数)のときに分けて場合分けをするとよい．

(2) 「$a,b$の少なくとも一方は偶数である」を直接考えようとすると，場合分けに手間が掛かる．そこで，背理法を用いた証明を考えるとよい．「$a,b$の少なくとも一方は偶数である」の否定「$a,b$はともに奇数である」と，(1)を利用して証明する．なお，$a^2+b^2=c^2$を満たす自然数の組$(a,b,c)$をピタゴラス数（ピュタゴラース数）という．