% 例題A4.1.12：余りによる場合分け2 （One More）★★★
(1)$n$を整数とする.このとき,$n^2$を4で割った余りが0または1であることを証明せよ. (2)$a,b,c$を整数とする.$a^2+b^2=c^2$のとき,$a,b$の少なくとも一方は偶数であることを証明せよ.
% 解答（例題A4.1.12）
(1)すべての整数$n$は,$n=2k,n=2k+1$($k$は整数)のいずれかの形で表される. (i)$n=2k$のとき$$n^2=(2k)^2=4k^2$$となるから,$n^2$を4で割った余りは0である. (ii)$n=2k+1$のとき$$n^2=(2k+1)^2 =4(k^2+k)+1$$となるから,$n^2$を4で割った余りは1である. よって,(i),(ii)より,$n^2$を4で割った余りは,0または1である.$\blacksquare$(2)$a$と$b$がともに奇数であると仮定すると,(ii)より,$a^2$と$b^2$を4で割った余りはそれぞれ1である. したがって,$a^2+b^2$を4で割った余りは2である. 一方,(1)より,$c^2$を4で割った余りは0または1であり,$a^2+b^2=c^2$の両辺を4で割った余りと一致しないので,矛盾する. よって,$a,b$の少なくとも一方は偶数である.$\blacksquare$
% 問題A4.1.12
(1)$n$を整数とする.このとき,$n^2$を3で割った余りが0または1であることを証明せよ. (2)$a,b,c$を整数とする.$a^2+b^2=c^2$のとき,$a,b$の少なくとも一方は3の倍数であることを証明せよ.
% 解答A4.1.12
(1)すべての整数$n$は,$n=3k,n=3k+1,n=3k+2$($k$は整数)のいずれかの形で表される. (i)$n=3k$のとき$$n^2=(3k)^2=9k^2=3(3k^2)$$となるから,$n^2$を3で割った余りは0である. (ii)$n=3k+1$のとき$$n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$$となるから,$n^2$を3で割った余りは1である. (iii)$n=3k+2$のとき$$n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$$となるから,$n^2$を3で割った余りは1である. よって,(i)〜(iii)より,$n^2$を3で割った余りは,0または1である.$\blacksquare$(2)$a$と$b$がともに3の倍数ではないと仮定すると,(1)より,$a^2$と$b^2$を3で割った余りはそれぞれ1である. したがって,$a^2+b^2$を3で割った余りは$2$である. 一方,(1)より,$c^2$を3で割った余りは0または1であり,$a^2+b^2=c^2$の両辺を3で割った余りが一致しないので,矛盾する. よって,$a,b$の少なくとも一方は3の倍数である.$\blacksquare$
