% 例題A4.2.6：方程式の整数解4 （One More）★★★
不定方程式$x+2y+3z=10$を満たす自然数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ.
% 解答（例題A4.2.6）
与えられた不定方程式$x+2y+3z=10$を$z$について整理すると,$$3z=10-x-2y$$$x,y$は自然数であるから,$x \geqq 1,y \geqq 1$より,$$3z=10-x-2y \leqq 10-1-2 \times 1=7$$したがって,$z \leqq \frac{7}{3}$より,$z=1,2$となる. （ア）$z=1$のとき$x+2y+3 \times 1=10$より,$x+2y=7 \cdots (\mathrm{i})$$x \geqq 1$より,$2y=7-x \leqq 7-1=6$したがって,$y \leqq 3$より,$y=1,2,3$(i)より,$(x,y)=(5,1),(3,2),(1,3)$（イ）$z=2$のとき$x+2y+3 \times 2=10$より,$x+2y=4 \cdots (\mathrm{ii})$$x \geqq 1$より,$2y=4-x \leqq 4-1=3$したがって,$y \leqq \frac{3}{2}$より,$y=1$(ii)より,$(x,y)=(2,1)$よって,（ア）,（イ）より,求める自然数の組は,$$(x,y,z)=(5,1,1),(3,2,1),(1,3,1),(2,1,2)$$
% 問題A4.2.6
不定方程式$x+3y+4z=15$を満たす自然数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ.
% 解答A4.2.6
与えられた不定方程式$x+3y+4z=15$を$z$について整理すると,$4z=15-x-3y$$x,y$は自然数であるから,$x \geqq 1,y \geqq 1$より,$$4z=15-x-3y \leqq 15-1-3 \times 1=11$$したがって,$z \leqq \frac{11}{4}$より,$z=1,2$となる. （ア）$z=1$のとき$x+3y+4 \times 1=15$より,$x+3y=11 \cdots (\mathrm{i})$$x \geqq 1$より,$3y=11-x \leqq 11-1=10$したがって,$y \leqq \frac{10}{3}$より,$y=1,2,3$(i)より,$(x,y)=(8,1),(5,2),(2,3)$（イ）$z=2$のとき$x+3y+4 \times 2=15$より,$x+3y=7 \cdots (\mathrm{ii})$$x \geqq 1$より,$3y=7-x \leqq 7-1=6$したがって,$y \leqq 2$より,$y=1,2$(ii)より,$(x,y)=(4,1),(1,2)$よって,（ア）,（イ）より,求める自然数の組は,$$(x,y,z)=(8,1,1),(5,2,1),(2,3,1),(4,1,2),(1,2,2)$$
