% 例題A4.2.7：方程式の整数解5 （One More）★★★
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1,x \leqq y \leqq z$を満たす自然数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ.
% 解答（例題A4.2.7）
$0<x \leqq y \leqq z$より,$\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{y} \leqq \frac{1}{x}$である. これより,$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}$したがって,$1 \leqq \frac{3}{x}$より,$x \leqq 3$(i)$x=1$のとき$\frac{1}{1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$より,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$これは,$y,z$は正の整数であるので不適である. (ii)$x=2$のとき$\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$より,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ここで,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{y}+\frac{1}{y}$より,$\frac{1}{2} \leqq \frac{2}{y}$したがって,$y \leqq 4$ゆえに,$x \leqq y$より,$y=2,3,4$$y=2$のとき,$\frac{1}{2}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$これは,$z$は正の整数であるので不適である.$y=3$のとき,$\frac{1}{3}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$より,$z=6$$y=4$のとき,$\frac{1}{4}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$より,$z=4$(iii)$x=3$のとき,$\frac{1}{3}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$より,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$ここで,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{y}+\frac{1}{y}$より,$\frac{2}{3} \leqq \frac{2}{y}$したがって,$y \leqq 3$ゆえに,$x \leqq y$より,$y=3$このとき,$\frac{1}{3}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$より,$z=3$よって,(i)〜(iii)より,$(x,y,z)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)$
% 問題A4.2.7
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2},x \leqq y \leqq z$を満たす自然数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ.
% 解答A4.2.7
$0<x \leqq y \leqq z$より,$\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{y} \leqq \frac{1}{x}$である. これより,{$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}$} したがって,$\frac{3}{2} \leqq \frac{3}{x}$より,$x \leqq 2$(i)$x=1$のとき$\frac{1}{1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}$より,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ここで,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{y}+\frac{1}{y}$より,$\frac{1}{2} \leqq \frac{2}{y}$したがって,$y \leqq 4$$y=2$のとき,$\frac{1}{2}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$これは,$z$は正の整数であるので不適である.$y=3$のとき,$\frac{1}{3}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$より,$z=6$$y=4$のとき,$\frac{1}{4}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$より,$z=4$(ii)$x=2$のとき,$\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}$より,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ここで,$\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leqq \frac{1}{y}+\frac{1}{y}$より,$1 \leqq \frac{2}{y}$したがって,$y \leqq 2$ゆえに,$x \leqq y$より,$y=2$このとき,$\frac{1}{2}+\frac{1}{z}=1$より,$z=2$よって,(i),(ii)より,$(x,y,z)=(1,3,6),(1,4,4),(2,2,2)$
