% 例題A4.2.8：方程式の整数解6 （One More）★★★
(1)$x^2-y^2=99$を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めよ. (2)$\sqrt{n^2-35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めよ.
% 解答（例題A4.2.8）
(1)$x^2-y^2=99$より,$(x-y)(x+y)=99$ここで,$x,y$は自然数であり,$x^2-y^2<0$より,$x<y$であるから,$x-y,x+y$も自然数であり,$x-y<x+y$よって,$(x-y,x+y)=(1,99),(3,33),(9,11)$(i)$x-y=1,x+y=99$のとき,$(x,y)=(50,49)$(ii)$x-y=3,x+y=33$のとき,$(x,y)=(18,15)$(iii)$x-y=9,x+y=11$のとき,$(x,y)=(10,1)$(i)〜(iii)より,求める自然数の組は,$(x,y)=(50,49),(18,15),(10,1)$(2)$\sqrt{n^2-35}=m$（$m$は自然数）とおく. 両辺を2乗すると,$n^2-35=m^2$したがって,$n^2-m^2=35$より,$(n-m)(n+m)=35$ここで,$n,m$は自然数であり,$n^2-m^2>0$より,$n>m$であるから,$n-m,n+m$も自然数であり,$n-m<n+m$ゆえに,$(n-m,n+m)=(1,35),(5,7)$(i)$n-m=1,n+m=35$のとき,$(n,m)=(18,17)$(ii)$n-m=5,n+m=7$のとき,$(n,m)=(6,1)$よって,(i),(ii)より,$n=6,18$
% 問題A4.2.8
(1)$x^2-y^2=45$を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めよ. (2)$\sqrt{n^2-63}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めよ.
% 解答A4.2.8
(1)$x^2-y^2=45$より,$(x-y)(x+y)=45$ここで,$x,y$は自然数であり,$x^2-y^2<0$より,$x<y$であるから,$x-y,x+y$も自然数であり,$x-y<x+y$よって,$(x-y,x+y)=(1,45),(3,15),(5,9)$(i)$x-y=1,x+y=45$のとき,$(x,y)=(23,22)$(ii)$x-y=3,x+y=15$のとき,$(x,y)=(9,6)$(iii)$x-y=5,x+y=9$のとき,$(x,y)=(7,2)$(i)〜(iii)より,求める自然数の組は,$(x,y)=(23,22),(9,6),(7,2)$(2)$\sqrt{n^2-63}=m$（$m$は自然数）とおく. 両辺を2乗すると,$n^2-63=m^2$したがって,$n^2-m^2=63$より,$(n-m)(n+m)=63$ここで,$n,m$は自然数であり,$n^2-m^2>0$より,$n>m$であるから,$n-m,n+m$も自然数であり,$n-m<n+m$ゆえに,$(n-m,n+m)=(1,63),(3,21),(7,9)$(i)$n-m=1,n+m=63$のとき,$(n,m)=(32,31)$(ii)$n-m=3,n+m=21$のとき,$(n,m)=(12,9)$(iii)$n-m=7,n+m=9$のとき,$(n,m)=(8,1)$よって,(i)〜(iii)より,$n=8,12,32$
