【数学A】例題4.2.9：方程式の整数解7（One More）★★★

% 例題A4.2.9：方程式の整数解7 （One More）★★★
次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ. (1)$x y-2x+3y=0$(2)$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$

% 解答（例題A4.2.9）
(1)$x y-2x+3y=0$より,$(x+3)(y-2)=-6$$x,y$は整数であるから,$x+3,y-2$も整数である. したがって,$$(x+3,y-2)=(1,-6),(6,-1),(2,-3),(3,-2),(-1,6),(-6,1),(-2,3),(-3,2)$$よって,$$(x,y)=(-2,-4),(3,1),(-1,-1),(0,0),(-4,8),(-9,3),(-5,5),(-6,4)$$(2)$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$より,$x y=2 y+x$したがって,$x y-x-2 y=0$であるから,$(x-2)(y-1)=2$$x,y$は整数であるから,$x-2,y-1$も整数である. ここで,$x \neq 0,y \neq 0$より,$x-2 \neq -2,y-1 \neq -1$であるから,$$(x-2,y-1)=(2,1),(1,2),(-1,-2)$$よって,$$(x,y)=(4,2),(3,3),(1,-1)$$

% 問題A4.2.9
次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ. (1)$x y+x+2y=0$(2)$\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=1$

% 解答A4.2.9
(1)$x y+x+2y=0$より,$(x+2)(y+1)=2$$x,y$は整数であるから,$x+2,y+1$も整数である. したがって,$$(x+2,y+1)=(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1)$$よって,$$(x,y)=(-1,1),(0,0),(-3,-3),(-4,-2)$$(2)$\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=1$より,$x y=3 y+x$したがって,$x y-x-3 y=0$であるから,$(x-3)(y-1)=3$$x,y$は整数であるから,$x-3,y-1$も整数である. ここで,$x \neq 0,y \neq 0$より,$x-3 \neq -3,y-1 \neq -1$であるから,$$(x-3,y-1)=(3,1),(1,3),(-1,-3)$$よって,$$(x,y)=(6,2),(4,4),(2,-2)$$