【数学A】例題4.2.11：方程式の整数解9（One More）★★★★

% 例題A4.2.11：方程式の整数解9 （One More）★★★★
方程式$x^2+2xy+5y^2+4x-12y+11=0$を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ.

% 解答（例題A4.2.11）
$x^2+2xy+5y^2+4x-12y+11=0$を$x$について整理すると,$$x^2+2\left(y+2\right)x+\left(5y^2-12y+11\right)=0 \cdots (\mathrm{i})$$2次方程式の判別式を$D$とすると,$$\begin{aligned} \frac{D}{4} &=(y+2)^2-1 \cdot \left(5y^2-12y+11\right)\\ &=y^2+4y+4-\left(5y^2-12y+11\right)\\ &=-4y^2+16y-7\\ \end{aligned}$$(i)の解が実数となるから,$D \geqq 0$したがって,$-4y^2+16y-7 \geqq 0$より,$(2y-1)(2y-7) \leqq 0$ゆえに,$\frac{1}{2} \leqq y \leqq \frac{7}{2}$$y$は整数であるから,$y=1,2,3$(ア)$y=1$のとき,(i)より,$x^2+6x+4=0$これを解くと,$x=-3\pm{\sqrt{5}}$となり,不適である. (イ)$y=2$のとき,(i)より,$x^2+8x+7=0$これを解くと,$x=-7,-1$(ウ)$y=3$のとき,(i)より,$x^2+10x+20=0$これを解くと,$x=-5\pm \sqrt{5}$となり,不適である. よって,（ア）〜（ウ）より,$(x,y)=(-7,2),(-1,2)$

% 問題A4.2.11
方程式$x^2-2xy+2y^2-2x-2y+4=0$を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ.

% 解答A4.2.11
$x^2-2xy+2y^2-2x-2y+4=0$を$x$について整理すると,$$x^2-2\left(y+1\right)x+\left(2y^2-2y+4\right)=0 \cdots (\mathrm{i})$$2次方程式の判別式を$D$とすると,$$\frac{D}{4}=(y+1)^2-1 \cdot \left(2y^2-2y+4\right) =y^2+2y+1-(2y^2+2y-4) =-y^2+4y-3$$(i)の解が実数となるから,$\frac{D}{4} \geqq 0$したがって,$-y^2+4y-3 \geqq 0$より,$-(y-1)(y-3) \geqq 0$ゆえに,$1 \leqq y \leqq 3$$y$は整数であるから,$y=1,2,3$(ア)$y=1$のとき,(i)より,$x^2-4x+4=0$これを解くと,$x=2$(イ)$y=2$のとき,(i)より,$x^2-6x+8=0$これを解くと,$x=4,2$(ウ)$y=3$のとき,(i)より,$x^2-8x+16=0$これを解くと,$x=4$よって,（ア）〜（ウ）より,$(x,y)=(2,1),(4,2),(2,2),(4,3)$