【数学A】例題4.2.18：座標空間における点（One More）★★★

% 例題A4.2.18：座標空間における点 （One More）★★★
座標空間内の3点$\mathrm{O}(0,0,0),\mathrm{A}(0,2,-2),\mathrm{B}(2,2,0)$からの距離がともに$2 \sqrt{2}$である点Cの座標を求めよ.

% 解答（例題A4.2.18）
点Cの座標を$(x,y,z)$とする. 与えられた条件から,$\mathrm{OC}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2 \sqrt{2}$したがって,$\mathrm{OC}^2=\mathrm{AC}^2=\mathrm{BC}^2=8$$\mathrm{OC}^2=\mathrm{AC}^2$より,$x^2+y^2+z^2=x^2+(y-2)^2+(z+2)^2$整理すると,$y^2+z^2=(y-2)^2+(z+2)^2$ゆえに,$y-z=2 \cdots (\mathrm{i})$$\mathrm{OC}^2=\mathrm{BC}^2$より,$x^2+y^2+z^2=(x-2)^2+(y-2)^2+z^2$整理すると,$x^2+y^2=(x-2)^2+(y-2)^2$ゆえに,$x+y=2 \cdots (\mathrm{ii})$さらに,$\mathrm{OC}^2=8$より,$x^2+y^2+z^2=8 \cdots (\mathrm{iii})$(i),(ii)より,$x=2-y,z=y-2 \cdots (\mathrm{iv})$これを(iii)に代入すると,$(2-y)^2+y^2+(y-2)^2=8$整理すると,$3y^2-8y=0$これを解くと,$y=0,y=\frac{8}{3}$よって,(iv)より, 求める点Cの座標は,$(2,0,-2),\left(-\frac{2}{3},\frac{8}{3},\frac{2}{3}\right)$

% 問題A4.2.18
座標空間において,$\mathrm{A}(3,2,4),\mathrm{B}(4,3,0),\mathrm{C}(5,4,5)$を頂点とする三角形は,直角三角形であることを示せ.

% 解答A4.2.18
$$\begin{aligned} & \mathrm{AB}^2=(4-3)^2+(3-2)^2+(0-4)^2=18,\\ & \mathrm{BC}^2=(5-4)^2+(4-3)^2+(5-0)^2=27,\\ & \mathrm{CA}^2=(3-5)^2+(2-4)^2+(4-5)^2=9 \end{aligned}$$$\mathrm{BC}^2=\mathrm{CA}^2+\mathrm{AB}^2$であるから,三平方の定理の逆より,$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$の直角三角形である.$\blacksquare$