% 例題I2.1.2：2つの集合の共通部分と和集合,補集合 （One More）★
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$を全体集合とする.$U$の部分集合$A,B$を$A=\{1,2,4,6,8,10\},B=\{1,3,6,9\}$とするとき,次の集合を求めよ. (1)$A \cap B$(2)$\overline{A} \cap B$(3)$\overline{A \cap B}$(4)$\overline{A} \cup \overline{B}$(5)$\overline{{A} \cup \overline{B}}$
% 解答（例題I2.1.2）
与えられた条件をもとに,$U,A,B$をベン図で表すと,下の図のようになる. (1)$A\cap B$は,$A$と$B$の共通部分であるから,$$A\cap B=\{1,6\}$$(2)$\overline{A} \cap B$は$B$の要素のうち,$A\cap B$の要素ではないものであるから,$$\overline{A} \cap B=\{3,9\}$$(3)$\overline{A \cap B}$は,$A \cap B$の補集合である. よって,(1)より,$$\overline{A \cap B}=\{2,3,4,5,7,8,9,10\}$$(4)$\overline{A} \cup \overline{B}$は,$\overline{A}$と$\overline{B}$の和集合である.$\overline{A}=\{3,5,7,9\},\overline{B}=\{2,4,5,7,8,10\}$より,$$\overline{A} \cup \overline{B}=\{2,3,4,5,7,8,9,10\}$$(5)ド・モルガンの法則より,$\overline{{A} \cup \overline{B}}=\overline{A} \cap B$となり,$\overline{{A} \cup \overline{B}}$は,$\overline{A}$と$B$の共通部分である. よって,(2)より,$$\overline{{A} \cup \overline{B}}=\overline{A} \cap B=\{3,9\}$$
% 問題I2.1.2
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$を全体集合とする.$U$の部分集合$A,B$を$A=\{2,3,5,7,9,10\},B=\{1,5,6,9,12\}$とするとき,次の集合を求めよ. (1)$A \cap B$(2)$\overline{A} \cap B$(3)$\overline{A \cap B}$(4)$\overline{A} \cup \overline{B}$(5)$\overline{{\overline{A}} \cup \overline{B}}$
% 解答I2.1.2
与えられた条件をもとに,$U,A,B$をベン図で表すと,下の図のようになる. (1)$A\cap B$は,$A$と$B$の共通部分であるから,$$A\cap B=\{5,9\}$$(2)$\overline{A} \cap B$は$B$の要素のうち,$A\cap B$の要素ではないものであるから,$$\overline{A} \cap B=\{1,6,12\}$$(3)$\overline{A \cap B}$は,$A \cap B$の補集合である. よって,(1)より,$$\overline{A \cap B}=\{1,2,3,4,6,7,8,10,11,12\}$$(4)$\overline{A} \cup \overline{B}$は,$\overline{A}$と$\overline{B}$の和集合である.$\overline{A}=\{1,4,6,8,11,12\},\overline{B}=\{2,3,4,7,8,10,11\}$より,$$\overline{A} \cup \overline{B}=\{1,2,3,4,6,7,8,10,11,12\}$$(5)ド・モルガンの法則より,$\overline{{\overline{A}} \cup \overline{B}}=A \cap B$となり,$\overline{{\overline{A}} \cup \overline{B}}$は,$A$と$B$の共通部分である. よって,(1)より,$$\overline{{\overline{A}} \cup \overline{B}}=A \cap B=\{5,9\}$$
