問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題I2.1.7：命題の真偽（One More）★
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次の命題の真偽を調べよ．また，偽のときは具体的な反例を挙げよ．ただし，$x,y$は実数とする．
(1) $x=2$ならば，$x^2=4$
(2) $x^2=9$ならば，$x=3$
(3) $|x|<1$ならば，$x<1$
(4) $x+y=0$ならば，$x=y=0$
(5) $\triangle\mathrm{ABC}$が二等辺三角形ならば，$\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{B}$
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% 例題I2.1.7の解答（One More）★
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(1) $x=2$の両辺を2乗すると，$x^2=4$
よって，命題は真である．
(2) $x=-3$のとき，$x^2=9$であるが，$x=3$ではない．
よって，命題は偽である．
反例は，$x=-3$
(3) $|x|<1$より，$-1<x<1$
したがって，$x<1$
よって，命題は真である．
(4) $x=1,y=-1$のとき，$x+y=0$であるが，$x=y=0$ではない．
よって，命題は偽である．
反例は，$x=1,y=-1$
(5) $\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{C}=45^{\circ},\angle\mathrm{B}=90^{\circ}$のとき，$\triangle\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であるが，$\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{B}$ではない．
よって，命題は偽である．
反例は，$\angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{C}=45^{\circ},\angle\mathrm{B}=90^{\circ}$
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% 問題I2.1.7：命題の真偽（One More）★
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次の命題の真偽を調べよ．また，偽のときは具体的な反例を挙げよ．ただし，$x,y$は実数とする．
(1) $x^2=16$ならば，$x=4$
(2) $x-y=0$ならば，$x=y=0$
(3) $x^2+y^2=0$ならば，$x=y=0$
(4) $xy$が有理数ならば，$x,y$はともに有理数である．
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% 問題I2.1.7の解答（One More）★
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(1) $x=-4$のとき，$x^2=16$であるが，$x=4$ではない．
よって，命題は偽である．
反例は，$x=-4$
(2) $x=1,y=1$のとき，$x-y=0$であるが，$x=y=0$ではない．
よって，命題は偽である．
反例は，$x=1,y=1$
(3) $x^2\geqq 0,y^2\geqq 0$であるから，$x^2+y^2=0$ならば，$x^2=0$かつ$y^2=0$
したがって，$x=y=0$
よって，命題は真である．
(4) $x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}$のとき，$xy=2$であるが，$x,y$は無理数である．
よって，命題は偽である．
反例は，$x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}$
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