% 例題I2.1.9：必要条件・十分条件 （One More）★★
次の$\fbox{ }$に最も適するものを,(i)〜(iv)から選べ.ただし,$x,y$は実数とする. (1)$x>0$は,$x \geqq 0$であるための$\fbox{ }$. (2)$x>y$は,$x^4>y^4$であるための$\fbox{ }$. (3)$x=y=1$は,$2x-y=2y-1=1$であるための$\fbox{ }$. (4)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}<90^{\circ}$は,$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$\fbox{ }$. (i)必要条件であるが十分条件ではない (ii)十分条件であるが必要条件ではない (iii)必要十分条件である (iv)必要条件でも十分条件でもない
% 解答（例題I2.1.9）
(1)「$x>0 \Longrightarrow x \geqq 0$」は,真である. 「$x \geqq 0 \Longrightarrow x>0$」は,偽である.反例は,$x=0$よって,(ii)十分条件であるが必要条件ではない (2)「$x>y \Longrightarrow x^4>y^4$」は,偽である.反例は,$x=0,y=-1$「$x^4>y^4 \Longrightarrow x>y$」は,偽である.反例は,$x=-1,y=0$よって,(iv)必要条件でも十分条件でもない (3)$x=y=1$のとき,$2x-y=2 \cdot 1-1=1,2y-1=2 \cdot 1-1=1$したがって,「$x=y=1 \Longrightarrow 2x-y=2y-1=1$」は,真である.$2 x-y=2y-2=2$のとき,$2y-1=1$から,$y=1$また,これを$2x-y=1$に代入すると,$x=1$したがって,「$2 x-y=2 y-1=1 \Longrightarrow x=y=1$」は,真である. よって,(iii)必要十分条件である (4)$\triangle \mathrm{ABC}$において, 「$\angle \mathrm{A}<90^{\circ} \Longrightarrow \triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形」は,偽である. 反例は,$\angle \mathrm{A}=30^{\circ}<90^{\circ},\angle \mathrm{B}=30^{\circ},\angle \mathrm{C}=120^{\circ}$「$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形$\Longrightarrow \angle \mathrm{A}<90^{\circ}$」は,真である. よって,(i)必要条件であるが十分条件ではない
% 問題I2.1.9
次の$\fbox{ }$に最も適するものを,(i)〜(iv)から選べ.ただし,$x,y$は実数とする. (1)$x=2$は,$x^2<10$であるための$\fbox{ }$. (2)$x+y>10$は,$x>5$かつ$y>5$であるための$\fbox{ }$. (i)必要条件であるが十分条件ではない (ii)十分条件であるが必要条件ではない (iii)必要十分条件である (iv)必要条件でも十分条件でもない
% 解答I2.1.9
(1)「$x=2 \Longrightarrow x^2<10$」は,真である. 「$x^2<10 \Longrightarrow x=2$」は,偽である.反例は,$x=3$よって,(ii)十分条件であるが必要条件ではない (2)「$x+y>10 \Longrightarrow$$x>5$かつ$y>5$」は,偽である.反例は,$x=10,y=1$「$x>5$かつ$y>5$$\Longrightarrow$$x+y>10$」は,真である. よって,(i)必要条件であるが十分条件ではない
